Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если известно, что один из них в 4 раза меньше другого.

ясно, что в этом прямоугольном треугольнике есть не только угол в 60°, но и в 30°, т.к. в сумме острые углы составляют 90°. а против острого угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е.   6 см. тогда другой катет равен   √(12²-6²)=6√3,

а в маленьком треугольнике, на которые разбивает высота исходный треугольник, тоже есть угол в 30°, против него лежит проекция катета в 6 см для исходного треугольника, для маленького же треугольника сторона в 6 см является гипотенузой, значит, эта проекция равна 3см, и 12-3=9/см/- больший из отрезков, на которые высота, проведенная к гипотенузе разбивает эту гипотенузу.

ответ 9 см

радиус окружности, описанной около основания, равен √24 = 2√6.

он равен проекции бокового ребра на основание и в то же время это половина диагонали квадрата в основании пирамиды.

отсюда находим сторону а основания: а = 2*(2√6)/√2 = 4√3.

так как   угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45 градусам, то находим его длину l.

l = 2√6/cos 45° = 2√6/(√2/2) = 4√3.

теперь можно получить ответ - высота боковой грани пирамиды равна (это апофема а):

а = √(l² - (a/2)²) = √(4√3)² - (4√3/2)²) = √(48 - 12) = √36 = 6.