Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 5 и 8см. длина каждого бокового ребра пирамиды 12см. найдите объем пирамиды.

обозначим трапецию авсd. пусть вс=а, тогда аd=4а.   

1) треугольники, образованные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, подобны по равным углам: вертикальные при точке пересечения о и накрестлежащие при основаниях, и k=ad: вс=4: 1⇒

ао: со=4: 1

2) так как еf параллельна основаниям трапеции, ∆авс и  ∆аео подобны с коэффициентом подобия ао: ас,=4: (4+)=4/5

аналогично из подобия ∆ оdf и bdc отношение оd: вd=4/5

тогда ео: вс=оf: вс=4/5, откуда ео=оf=8: 2=4

из отношения ео: вс=4/5 находим вс=5 (ед. длины)

аd=4вс=4•5=20 (ед. длины)

полезно запомнить  это свойство трапеции:

отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,делится точкой пересечения диагоналей пополам.

1. соединяем концы хорды с центром окружности, получаем равносторонний треугольник, в котором все углы равны 180/3=60 градусов.касательная всегда перпендикулярна радиусу окружности, проходящему через нее, следовательно угол между хордой и касательной равен 90-60=30 градусов. 2. градусная мера окружности равна 360, следовательно  угол вас лежит на дуге равной 360-75-112=173 градуса (от общей меры окружности отняли две дуги, стягиваемые ). угол вас - вписанный, следовательно его мера равна хорда, на которую он опирается пополам 173/2=86,5 градусов. 3. провести все три биссектрисы и в точке их пересечения будет центр окружности. 4. находим боковую сторону треугольника по теореме пифагора 12^2+9^2=15^2, следовательно сторона равна 15. находим площадь треугольника s=(ah)/2=(24*9)/2=108. теперь по стандартным формулам находим радиусы r=s/p=108/27=4 r=abc/4s=(15*15*24)/(4*108)=12,5. r - радиус вписанной окружности r - радиус описанной окружности a - основание треугольника b - боковая сторона  c - боковая сторона s - площадь треугольника p - полупериметр треугольника (периметр пополам).