Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 156° и 97°. найдите больший из оставшихся углов. ответ дайте в градусах.

Если четырехугольник вписан в окружность то сумма противоположных углов=180, 156+97=253 - углы соседние, тогда угол1=153, угол2=97, угол3=180-153=27, угол4=180-97=83 - больший из оставшихся углов

Пусть высота трапеции h, высота треугольника boc h; основания ad =  a; bc = b; sabd = 6 = s1; sboc = 1 = s2; тогда h*a/2 = s1 =  6; h*b/2 = s2 =  1; h/h = (s2/s1)*(a/b); h/(h + h) = b/a; => h/h    = b/(a - b) = 1/(a/b - 1); пусть для краткости записи a/b = x; s1/s2 = p = 6;   тогда 1/(x - 1) = x/p; p = x*(x - 1); x^2 - x - p = 0;   при p  = 6; подходит только один корень x = 3; второй -2 - отрицательный. то есть b = a/3;   соответственно, площадь треугольника abc равна 6/3 = 2; а площадь трапеции 6 + 2 = 8. 

оскольку ромб является одним из видов параллелограмма, то диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

кроме этого, диагонали ромба другими свойствами.

теорема.

(свойство диагоналей ромба)

диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

 

дано:

abcd — ромб,

ac и bd — диагонали.

доказать:

    ac и bd — биссектрисы углов ромба.

доказательство:

рассмотрим треугольник abc.

  ac=bc (по  определению ромба).

следовательно, треугольник abc — равнобедренный с основанием ac (поопределению равнобедренного треугольника).

так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то ao=oc.

значит, bo — медиана треугольника abc (по  определению медианы).

следовательно, bo — высота и биссектриса треугольника abc (по  свойству равнобедренного треугольника).

то есть,

    bd — биссектриса углов abc (и adc).

  из треугольника abd аналогично доказывается, что ac — биссектриса углов bad и bcd.

что и требовалось доказать.