Прямая, содержащая среднюю линию треугольника abc, параллельную стороне ab, делит пополам 1 биссектрису угла a 2 биссектрису угла c 3 высоту ch 4 высоту bk

высоту сн,   поскольку треугольник, отсекаемый средней линией, (назовем ее а₁в₁, где в₁   лежит на вс, а а₁ на ас, с₁=сн∩а₁в₁), это δа₁в₁с₁ подобен δавс по 1 признаку подобия треугольников, в них ∠ с общий, ∠в=∠в₁ как соответственные углы при ав║а₁в₁ и секущей вс, а из подобия треугольников вытекает указанное соотношение, т.е. а₁в₁/ав=сс₁/сн=1/2

Вправильном треугольнике биссектриса, медиана и высота (читай: одно и то-же). причем в точке пересечений они будут иметь отношение 2: 1 (свойства). таким образом, радиус описанной окружности это, скажем, медиана до центра тругольника (точки пересечения всех последних), а вписанной это та-же медиана, только от центра треугольника (перпендикуляр из центра треугольника опущенный на любую из сторон есть радиус вписанной окружности). находим медиану по теореме пифагора, 12^2-6^2 и все это под корнем (12 - дано, 6-потому что медиана делит сторону пополам) и равна 3 корня из 6 и соответственно радиус вписанной окружности корень из 6, а описанной 2 корня из 6.

Вот решение: 1) проведём медиану к основанию равнобедренного треугольника.  2) рассмотрим получившиеся треугольники скм и кнс:     сторона кс - обшая;     км = кн по определению, по условию;     мс = сн по условию, т. к. медиана делит противолежаую сторону пополам.     треугольники кнс и кмс равны по 3-му признаку равенства треугольников (если три стороны одного тр-ка равны трём сторонам другого, то тр-ки равны) 3) если они равны, то и соответствуюшие элементы треугольников равны. угол мкс  равен углу нкс, значит, для тр-ка кмн кс - биссектриса биссектриса делит угол пополам.