Диагонали ас и bd трапеции abcd пересекаются в точке о. площади треугольников aod и boc равны соответственно 25 и 16. найдите площадь трапеции.

Вспомним, что   в трапеции треугольники, образованные основаниями и пересекающимися диагоналями подобны по   трём равным углам.  s вос: s aod=16: 25  отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.  следовательно,k=во: оd=√(16: 25)=4/5  отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.  треугольнике вос и соd имеют общую высоту. следовательно, площадь треугольника со=5/4 площади вос и равна 16: 4*5= 20  в трапеции треугольники, образованные боковыми сторонами и пересекающимися диагоналями равновелики.  ⇒  s aob=s cod=20 ( можно проверить по отношению во: оd и равным высотам).  площадь трапеции равна  s abcd= s boc+s aod+s aob+s cod=16+25+20+20=81

Если точка А является серединой отрезка BC, то координаты точки B можно найти, используя формулы для нахождения середины отрезка.

Формула для нахождения середины отрезка между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:

(x, y) = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

В данном случае, точка А (-4, 2) является серединой отрезка AB, а точка B — неизвестная точка, которую мы хотим найти. Также известно, что точка C имеет координаты (-1, -1).

Мы можем записать следующие уравнения, используя формулу середины отрезка:

(x₁ + x₂) / 2 = -4 => (x₂ - 4) = (x₁ + 4) => x₂ = 2x₁ + 8

(y₁ + y₂) / 2 = 2 => (y₂ - 2) = (y₁ + 2) => y₂ = 2y₁ + 4

Подставляя значения координат точки C (-1, -1) в уравнения, получим:

-1 = 2x₁ + 8 => 2x₁ = -9 => x₁ = -4.5

-1 = 2y₁ + 4 => 2y₁ = -5 => y₁ = -2.5

Таким образом, координаты точки B равны (-4.5, -2.5).

Щоб довести, що чотирикутник ABCD з вершинами у точках A(2;1), B(1;-3), C(-3;-2) та D(-2;2) є прямокутником, ми можемо перевірити, чи виконуються умови, які характеризують прямокутник.

1. Перевірка довжин сторін:
Відрізки AB, BC, CD та DA мають наступні довжини:
AB = √[(1 - (-3))^2 + (2 - 1)^2] = √[16 + 1] = √17,
BC = √[(-3 - 1)^2 + (-2 - (-3))^2] = √[16 + 1] = √17,
CD = √[(-3 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2] = √[1 + 16] = √17,
DA = √[(2 - (-2))^2 + (1 - 2)^2] = √[16 + 1] = √17.

Ми бачимо, що всі сторони мають однакову довжину √17.

2. Перевірка взаємної перпендикулярності сторін:
Ми можемо використати вектори для цієї перевірки. Якщо вектори, що сполучають сусідні вершини, будуть перпендикулярними, то сторони є перпендикулярними.

Вектор AB: (1 - 2, -3 - 1) = (-1, -4),
Вектор BC: (-3 - 1, -2 - (-3)) = (-4, 1),
Вектор CD: (-3 - (-2), -2 - 2) = (-1, -4),
Вектор DA: (2 - (-2), 1 - 2) = (4, -1).

Ми бачимо, що вектори AB та CD є перпендикулярними, а вектори BC та DA також є перпендикулярними.

Отже, у нас є чотири сторони однакової довжини та пари сторін, які є перпендикулярними. Це відповідає умовам прямокутника. Тому чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(2;1), B(1;-3), C(-3;-2) та D(-2;2) є прямокутником.