Периметр параллелограмма равен 28 см, а его высоты равны 3 см и 4 см. найдите площадь параллелограмма.

когда угол наклона задан, пусть это ф, как постоянный для всех граней, то легко показать, что sboc = socn/cos(ф);

в самом деле, у каждой грани есть проекция на основание в виде треугольнка, у которого основание такое же - это сторона основания : ), а высота явялется проекцией высоты боковой грани. то есть они связаны соотношением hp/hg = cos(ф); отсюда получается и соотношение для площадей.

поэтому модно сказать, что проекцией вершины является центр вписанной окружности, вычислить радиус её (он равен (6 + 8 - 10)/2 = 2; ) потом посчитать высоты боковых граней (они равны 2*корень(2); ) сочитать площади всех граней, сложить и получить тот же ответ: ) но я все это делать не буду, просто воспользуюсь тем соотношением : )

socn = 6*8/2 = 24; sboc = socn/cos(45) = 24*корень(2);

s = sosn + sboc = 24*(1+корень(2));  

сторона 16/4 = 4, площадь 4*4*sin(60) = 8*корень(3);  

я заметил, что тут уже есть точно такое же решение этой , и я так понял, что оно чем-то не устраивает. 

на самом деле можно вот что сделать - разбить ромб на 2 равносторонних треугольника со стороной 4 (раз угол 60 радусов, то малая диагональ будет такой же, как сторона) теперь в этом треугольнике надо найти высоту (все равно какую). поскольку высота в нем совпадает с биссектрисой и медианой из то же вершины, то она образует с боковой стороной и половиной основания прямоугольный треугольник. считаем её длину по теореме пифагора :

высота равна корень(4^2 - 2^2) = 2*корень(3);

теперь считаем площадь одного треугольника, это будет (1/2)*4*2*корень(3),

то есть 4*корень(3); поскольку ромб разрезан на 2 треугольника, ответ будет

8*корень(3);