Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна 14 см. найдите диаметр описанной окруженности

Впрямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы, гипотенуза=2*медиана=2*14/28 = диаметр описанной окружности

Расстояние от точки до плоскости - перпендикуляр. в данном случае его конец будет лежать в центре пересечения диагоналей квадрата.  удаленность т. s от любой из вершин 5 см ( по условию).диагональ квадрата = 6 корней из 2. половинка = 3 корня из 2.осталось лишь найти катет sh. (из треугольника sah либо sbh либо sch либо sch , как нравится, в общем, h - точка пересечения диагоналей квадрата).  я выберу sah: sa  = 5; ah = 3 корня из 2. sh - ? ah^2 + sh ^ 2 = sa ^ 23 ^2 + sh^2 = 25 --> sh^2 = 7 --> sh = корень из 7(см)ответ: sh =  (см)

Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих (одинаковой площади, но не равных) треугольников. данный нам треугольник авс пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см). sabc=6см² и каждый из треугольников имеет площадь, равную 1см². тогда искомое расстояние - высота треугольника (одного из шести)  с катетом на гипотенузе ab.  h=2s/аm = 2/(2,5)=0,8 см.но для практики решим эту через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины и формулу герона для площади. пусть в треугольнике авс < с=90° и стороны ас=b=3, вс=а=4 и ав=с=5. найдем медианы ма и мc по формуле: ma=(1/2)*√(2b²+2c²-a²). ma=(1/2)*√(2*(3²)+2*(5)²-4²)=(1/2)*√(18+50-16)=√52/2. mc=(1/2)*√(2*(3²)+2*(4)²-5²)=(1/2)*√(18+32-25)=5/2. тогда отрезки медиан: ао=(2/3)*(√52/2)=2√13/3. ом=(1/3)*(5/2)=5/6. в треугольнике аом имеем (сразу к общему знаменателю): ам=5/2 = 15/6. ао=2√13/3=4√13/6. ом=5/6. периметр р=(20+4√13)/6. полупериметр р=(10+2√13/6). тогда по формуле герона  sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем: sаom=√[(10+2√13)*(10+2√13-15)*(10+2√13-4√13)*10+2√13-5)]/36.  или: sаom=√[(10+2√13)*(2√13-5)*(10-2√13)*(2√13+5)]/36. мы видим, что у нас под корнем произведение разности квадратов: sаom=√[(10²-(2√13)²)*((2√13)²-5²)/36 = √(48*27)/36=36/36 =1. итак, мы пришли к началу: искомое расстояние (высота он, проведенная к основанию ам треугольника аом: он=2sbom/ам = 2/2,5 = 0,8. ответ: он=0,8см.p.s. решение для тех, кто не любит формулу герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корни. чаще всего (если не всегда) приходим к произведению разности квадратов в подкоренном выражении.