Докажите, что если в треугольнике две медианы равны, то это треугольник равнобедренный

Треугольник на рисунке точкой пересечения медианы треугольника делят себя на отрезки в отношении 1: 2, поэтому если медианы ae и bd равны, то af=bf. значит треугольник  afb является равнобедренным, проведем из точки с медиану ch на сторону ав. она пересекает две другие медианы в точке f. т. е.  afb  равнобедренный, fh - высота, значит и ch - высота, а медиана является высотой только в равнобедренном треугольнике

Δbdc и δb1d1c1: bd = b1d1  (из . к. d и d1  — середины сторон ас и а1с1  ) ∠bdc = ∠b1d1c1  (из условия).таким образом, δbdc = δb1d1c1  по 1-му признаку равенства треугольников. откуда вс = в1с1.аналогично δadb = δa1d1b1  и ав = a1b1  в δabc и δa1b1c1: ав = а1в1  (из равенства δadb = δa1d1b1  вс = в1с1  (из равенства δвdс = δв1d1с1  ас = а1с1  (из условия) таким образом, δавс = δa1b1c1  по 3-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Найдем ad10-6,4=3,6  высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на подобные треугольники.  из подобия   ∆ abc и ∆ adc следует отношение:   ав: ас=ас: ad  ⇒  ac²=ab*ad=10*3,6=36  ac=√36=6  из подобия  ∆ abc и ∆ вdc  следует отношение:   ав: вс=вс: bd  ⇒  bc²=ab*bd=64  bc=8  из подобия   ∆ bcd и ∆ acd следует отношение:   вd: cd=cd: ad  cd²=ab*cd=6,4*3,6=23,04  cd=√23,04=4,8  отсюда следует свойство высоты, которое полезно запомнить:   а) высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.  б)  катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.  тогда решение можно записать короче:   cd²=ab*cd=6,4*3,6=23,04  cd=√23,04= 4,8 см  bc²=ab*bd=64  bd=√64= 8 см  ac²=ab*ad=10*3,6=36  ac=√36=6 см