Найдите объем конуса, если радиус основания этого конуса равен 2, а образующая составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.

Впринципе решение очевидно: площадь описанного круга πr²=49π; r=7 площадь вписанного круга πr²=9π; r=3 так как δabc прямоугольный (a,b - катеты, c - гипотенуза), центр описанного круга совпадает с серединой гипотенузы. c=2r=14 1) sδabc=(a+b+c)*r/2=a*b/2;   (a+b+14)*3/2=a*b/2; 3a+3b-a*b+42=0; a*(b-3)=3b+42; a=3*(b+14)/(b-3); 2) a²+b²=c²; a²+b²=14²; 9*(b+14)²/(b-3)²+(b+14)*(b-14)=0; 9*(b+14)²+(b+14)*(b-14)*(b-3)²=0;   b+14 ! = 0; 9*(b+14)+(b-14)*(b-3)²=0; 9b+126+(b-14)(b²-6b+9)=0;   9b+126+(b³-14b²-6b²+84b+9b-126)=0; 9b+b³-14b²-6b²+84b+9b=0;   b! =0; 9+b²-14b-6b+84+9=0; b²-20b+102=0; однако последнее уравнение не имеет действительных корней. нет ли ошибки в условии?

1)

диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. рассмотрим один из них δасд. угол ∠аос является развернутым углом, который равен 180º. исходя из этого:

∠сод = 180º - ∠аод;

∠сод = 180º - 70º = 110º.

треугольник δсод является равнобедренным, в которого углы ∠осд и ∠одс равны как углы при основании.

так как сумма всех углов треугольника равна 180º, то:

∠осд = (180º - ∠сод) / 2;

∠осд = (180º - 110º) / 2 = 35º.

ответ: угол   ∠осд равен 35º.

2)

периметром ромба есть сумма всех его сторон:

р = ав + вс + сд + ад.

для этого нужно вычислить сторону ромба. рассмотрим треугольник δаво. так как диагонали ромба пересекаются в точке о и делятся пополам:

ао = ос = ас / 2;

ао = ос = 10 / 2 = 5 см.

диагонали ромба так же являются биссектрисами его углов. таким образом:

∠аво = ∠авс / 2;

∠аво = 60º / 2 = 30º.

для вычисления ав применим теорему синусов:

sin в = ао / ав;

ав = ао / sin в;

sin 30º = 1 / 2 = 0,5;

ав = 5 / 0,5 = 10 см.

р = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 см.

ответ: периметр ромба равен 40 см.