Укажите номера верных утверждений: а) косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе б) если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, то такие треугольники подобны в) при пересечении двух параллельных прямых третьей накрест лежащие углы равны г) любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку равноудалена от его концов д) радиус, проведенный в точку касания , перпендикулярен касательной

Номера верных ответов   под буквами  в,г,д

диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольных треугольников, на которые она делит прямоугольник.

пусть диагональ будет х.тогда одна сторона х-4,вторая х-8составим и решим уравнение по т. пифагора: х²=(х-8)²+(х-4)²х²= х²-16х+64+ х²-8х+16х²-24х+80=0 

дискриминант равен: d=b²-4ac=-24²-4·1·80=256так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корнях₁=20х²=4 и не подходит по величине диагональ равна 20 смдлина прямоугольника равна 20-4=16 смширина равна 20-8=12 смплощадь прямоугольника - произведение длин его сторон: s=16·12=192 см²

между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). вот найти угол (обозначу его ф) между ae и abc - это интересная .

я бы не стал решать эту , если бы у неё не было совершенно фантастической красоты метода решения. так-то её технически ничего не стоит сделать.

я специально поменяю обозначения. обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения. 

если автору не понравится способ решения - обратитесь к модератору, он это удалит :

 

итак. берется куб abcda1b1c1d1. трехмерная фигура с вершинами a1bc1d - тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники).

поскольку (например) фигура cc1bd - тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. точно так же - в ту же точку - проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. получается, что и а1 и с лежат на одной прямой, перпендикулярной bdc1. то есть большая диагональ a1c куба abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает её в центре этого треугольника. 

само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра  a1bc1d, и тоже проходят через центры граней. 

поэтому : )

углу ф соответствует угол между диагональю куба bd1 и плоскостью bdc1.

поскольку все диагонали пересекаются в центре куба "о", то искомый угол равен

ф = 90°  - ф1, где ф1 - угол между любыми двумя большими диагоналями куба. : (если из центра о, принадлежащего bd1 опустить перендикуляр на bdc1, этот перпендикуляр будет - как я только что доказал - частью диагонали куба a1c, отсюда это и получается). 

на этом можно было бы красоты завершить, и свести к техническому вычислению этого угла. но можно и добавить красот : ))

дело в том, что расстояние от a1 до плоскости bdc1 в два (в 2) раза больше, чем от c до этой же плоскости. то есть плоскость bdc1 делит a1c в пропорции 2/1, считая от вершины a1. это просто увидеть, если провести плоскость b1d1a, которая параллельна плоскости bdc1 (потому что обе перпендикулярны a1c), и заметить, что отрезок диагонали a1c от a1 до плоскости   b1d1a равен отрезку этой диагонали между плоскостями  b1d1a и bdc1. в самом деле, эти плоскости делят отрезок a1c1 пополам, поэтому и любую другую наклонную из точки a1 они делят пополам (теорема фаллеса : точно так же, отрезку a1c между плоскостями   b1d1a и bdc1 равен и отрезок от с до  bdc1, поскольку эти плоскости делят отрезок ac пополам (а, следовательно, и любую другую наклонную из точки с к этим плоскостям). получились, что диагональ a1c разделена порскостями b1d1a и bdc1три равных отрезка, откуда и следует соотношение длин 2/1. но это означает, что от центра куба до плоскости  bdc1 - ровно 1/6 диагонали a1c. с учетом того, что от центра до вершины куба 1/2 диагонали, косинус угла ф1 между большими диагоналями куба равен 1/3. само собой, это - синус ф. 

а косинус - уж найдите сами : (он равен 2√3/3)