Один из прямоугольного треугольника на 18° больше другого. найдите величины всех углов треугольника.

Если угол с=90°, пусть х-коефициент пропорциональности. тогда угол а=х, кгол в=18+х. составляем уравнение 18+х+х=90° 2х=90-18 2х=72 х=72/2 х=36° если х=36°, то угол а=36°, а угол в=36+18=54°. ответ: 54°,36°,90°.

180-сумма  x-один угол x+18-другой 90+18+х+х=180 2х+108=180 2х=72 х=36 значит, 90-один угол,36-второй,54-третий

1)На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

ответ или *решение1*

Дано:

АВ||CD

OD=15 см

ОВ=9 см

CD=25 см.

Доказать:

АО:ОС=ВО:OD

Найти:

АВ=?

Сначала докажем подобие треугольника: в АВО и DCO.

∠AOB=∠DOC как вертикальные.

∠СDO=∠ABO и ∠DCO=∠BAO как накрест лежащие.

Следовательно, ΔАОВ подобен ΔDOC (по трем углам).

Тогда, соответствующие стороны пропорциональны.

АО/ОС=ВО/OD

ЧТД

АВ/DC=ОВ/ОD

АВ=ОВ/ОD*DC=9/15*25=9*5/3=15 см

АВ=15 см.

ответ: АВ=15 см.

2)

Найдите отношение площадей треугольников ABC,KMN,если АВ = 8см, ВС= 12см,АС= 16 см,КМ=10см,MN=15см,NK=20см

ответ или решение1

Калашников Глеб

Дано: треугольники АВС и KMN,

АВ = 8 см,

ВС= 12см,

АС= 16 см,

КМ = 10 см,

MN =15 см,

NK = 20 см.

Найти: отношение площадей треугольников ABC,KMN - ?

Решение: Расматриваем треугольники АВС и KMN. Найдем отношения: АВ/КМ = 8 см/10 см= 4/5, ВС/MN = 12 см/15 см = 4/5, АС/NK = 16 см/20 см = 4/5. Следовательно реугольники АВС и KMN подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам). Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате. Тогда Sавс/Sкмn = (4/5) в квадрате = 16/25.

ответ: 16/25.

3)Треугольники АВС и MBN подобны по двум углам

(угол В- общий; Угол ВМN  равен углу ВАС как соответственные при МN||АС и секущей АВ)

Треугольники подобны⇒сходственные стороны пропорциональны

АВ/ВМ=СВ/ВN ⇒AB•BN = СВ•ВМ

Б) АВ=АМ+МВ=6+8=14

МN/АС= ВМ/АВ; МN/21=8/14,  МN=21·8/14=12 (см)

ответ МN=12см

2. Треугольники  PQR  и АВС подобны, т.к. стороны пропорциональны :

16/12=20/15=28/21=4/3

Площади подобных тругольников относятся как квадрат коэффициента подобия, т.е. как (4/3)²=16/9

площадь треугольника PQR относится к площади треугольника ABC

как 16 : 9

4)Видим, что треугольники подобны:

АВ/PQ = BC/QR = AC/PR = 3/4

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть 9/16.

ответ Проверим результат, найдя площади каждого из тр-ов.

Найдем площади по формуле Герона:

Для тр АВС: р = (12+15+21)/2 = 24

Для тр PQR: p = (20+28+16)/2 = 32

Теперь находим отношение площадей:

ответ: 9/16.

1.)

Дано:

AB||DE

DE=8 см.

DC=5 см.

BC=10 см.

AC=12 см.

CE-?

Рассмотрим тр.ABC и тр.EDC:

1.) ∠BCA=∠DCE (как вертикальные углы)

2.) ∠ABC=∠EDC (как накрестлежащие при AB||DE и секущей DB)

Следовательно тр.ABC и тр.EDC подобны по 1 признаку подобия (по двум равным углам).

Следовательно:

AB/ED=BC/DC=AC/EC

AB/8=10/5=12/EC

10/5=12/EC

2=12/EC

EC=12/2=6 см.

ответ: 6 см.

2.)

(Я обозначю ту точку на чертеже которая у тебя не обозначена как точка K).

Дано:

AC=8 см.

CK=4 см.

BC=12 см.

Рассмотрим тр.AKC-он прямоугл. (∠K=90°)

Следовательно по т. Пифагора:

AC²=AK²+CK²

8²=AK²+4²

64=AK²+16

AK²=64-16=48

AK=√48=4√3 см.

ответ: 4√3 см.