Определение высоты.свойство высот треугольника

Перпендикуляр, из вершины треугольника к его противолежащей стороне называют высотой треугольника.   у остроугольных треугольников все высоты расположены внутри треугольника. у прямоугольного треугольника - две высоты являются катетами. в тупоугольном треугольнике высоты из острых углов приходятся на продолжение стороны и находятся вне треугольника.  все высоты треугольника пересекаются в одной точке.  в остроугольном треугольнике эта точка находится внутри треугольника, в прямоугольном - это вершина прямого угла, в тупоугольном - вне треугольника. 

Пусть диагонали прямоугольника   abcd пересекаются в точке o. выберем произвольную точку m на перпендикуляре. так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, треугольники aom, bom, com, dom прямоугольные (om перпендикулярно плоскости (abc), а значит, и диагоналям), причём один катет у них общий, а второй катет - половина диагонали прямоугольника, то есть они равны по двум катетам. гипотенузы этих треугольников - расстояния от вершин прямоугольника до точки m, из равенства треугольников следует равенство этих расстояний. тогда точка m равноудалена от всех вершин прямоугольника, а в силу произвольности её выбора, любая точка перпендикуляра также равноудалена (включая точку o, то, что она равноудалена, следует из равенства oa=ob=oc=od).

Трапеция авсд, н-середина сд, проводим линию мн параллельную ад, м-середина ав, мн-средняя линия трапеции, проводим высоту вт на ад, средняя линия делит высоту на 2 равные части, из точки н проводим перпендикуляр нл на продолжение стороны вс, площадь всн=1/2вс*нл, из точки н проводим перпендикуляр нк на ад, площадь анд=1/2ад*нк, лк-высота трапеции=вт и делится  средней линией пополам нл=нк,  нл+нк=лк-высота трапеции, площадь всн+площадь анд=  1/2вс*нл (нк)+1/2ад*нк, но нк=нл=1/2лк, значит площадь всн+площадь анд=  1/2вс*1/2лк+1/2ад*1/2лк=1/4лк(вс+ад), площадьавсд=1/2(вс+ад)*лк, сумма площадей всн и анд составляет 1/2 площади авсд, значит площадь авн=1/2площади авсд=106/2=53