Периметр равнобедренного треугольника равен 54, а основание – 24. найдите площадь треугольника. с решением

Т.к. треугольник авс равнобедреный, то аb=bc=(p(периметр)-ас)/2 ab=bc=(54-24)=15 проведем высоту bh в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой, и она делит треугольник   abc на равные треугольники найдем высоту bh по теореме пифагора: (аh = 24/2=12 т.к bh медиана) площадь треугольника = 12 * 9 *0.5 = 54 а зная, что треугольники bah=bac, то s(площадь)= 54 *2 = 108

вариант решения. 

обозначим трапецию авсд, вс и ад - основания.

  отрезки касательных  к окружности,  проведенных из одной точки,  равны.⇒

ам=ан=9, кд=дн=12,  вм=вт=х, ст=ск=у

соединим вершины трапеции с центром окружности. 

центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.⇒ центр вписанной в трапеции окружности лежит в точке пересечения биссектрис её углов. 

сумма углов при боковой стороне   трапеции равна 180°, сумма их половин равна 90°,  ⇒  ∆ аов и ∆ сов прямоугольные, радиусы ом и ок– их высоты. 

высота прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между проекциями его катетов на гипотенузу. 

ом²=ам•вм

36=9•х⇒

х=36: 9=4

аналогично ок²=дк•ск

36=12•у

у=36: 12=3

ав=9+4=13

вс=3+4=7

cd=12+3=15

ад=9+12=21

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. 

высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности 

h=2r=12

s=(7+21)•12: 2=168 ед. площади.

Соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания. имеем подобные треугольники aoe и окв, а также дое и оср (их стороны взаимно перпендикулярны). находим отрезки сторон у вершин до точки касания: х = вк, у = ср. 6/12 = х/6,   х = 6*6/12 = 3. 6/9 = у/6,     у = 6*6/9 = 4. отсюда получаем длины сторон: ав = 9+4 = 13, вс 0 4+3 = 7, сд = 12+3 = 15. высота н трапеции равна: н =  √(ав² - (9-4)²) =  √169 - 25) =  √144 = 12. площадь s трапеции равна: s = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.