Трикутники ABC і ADC не лежать в одній площині. Знайдіть кути, які утворюють прямі AD і CD із площиною ABC, якщо AD=CD, кут ADC=90°, кут ABC=120°, пряма BD перпендикулярна до площини ABC.​

AB = CD так как трапеция равнобедренная,
∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,
AD - общая сторона для треугольников BAD и CDA, ⇒
ΔBAD = ΔCDA  по двум сторонам и углу между ними.

Значит ∠CAD = ∠BDA.
Тогда ΔOAD равнобедренный, прямоугольный, и его высота (ОН) является и медианой, проведенной к гипотенузе, значит, равна ее половине:
ОН = AD/2

ΔВОС подобен ΔDOA по двум углам, значит и
ОК = ВС/2

КН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 ⇒ высота равна средней линии.

Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = KH · KH = 18² = 324 см²

И вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней  линии трапеции (или полусумме оснований).

Задача с неполным условием, имеет бесконечно много решений в зависимости от формы треугольника. Рассмотрим три возможных варианта.

1) ΔABC - равнобедренный, AC = AB; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана, в равнобедренном треугольнике одновременно высота ⇒

CM = MB; AM ⊥ CB

ΔAMC - прямоугольный, ∠AMC=90°; AM=13 см; AC = 17 см

Теорема Пифагора :

CM² = AC² - AM² = 17² - 13² = 120 = (2√30)²

CM = 2√30 см

BC = 2 CM = 2*2√30 = 4√30 см

BC = 4√30 см

=========================================

2) ΔABC - прямоугольный; ∠BAC = 90°; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

BC = 2 AM = 2*13 = 26 см;

BC = 26 см

====================================

3) ΔABC - прямоугольный, ∠ABC = 90°; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана ⇒ BM = MC; BC = 2BM

Теорема Пифагора

AB² = AC² - BC² = 17² - (2BM)² = 289 - 4BM²

Теорема Пифагора для ΔABM

AB² = AM² - BM² = 13² - BM² = 169 - BM²

169 - BM² = 280 - 4BM²

3BM² = 111; BM² = 37

BM = √37 см ⇒ BC = 2BM = 2√37 см

BC = 2√37 см