Впрямоугольнике abcd проведены биссектрисы всех внутренних углов.пересекаясь, эти биссектрисы образуют четырехугольник периметра 12корней из двух.найдите наименьшую сторону прямоугольника abcd, если его периметр равен 28.

Решение (см рисунок) биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. прямоугольник - параллелограмм. 4 биссектрисы отсекают от него равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами , равными меньшей стороне. прямоугольник, образованный пересечением биссектрис - квадрат (равенство его сторон нетрудно доказать).  периметр этого квадрата равен 12√3,   каждая его сторона 3√2,  диагональ - 3√2*√2=6 полупериметр   прямоугольника равен 28 : 2=14.   пусть ав=сд=х, тогда вс=ад= 14-х соединим середины ав и сд отрезком, параллельным аd. средняя его часть-диагональ получившегося пересечением биссектрис квадрата, а боковые части - медианы половин отсечённых биссектрисами треугольников   и равны х : 2 -  половине меньшей стороны прямоугольника .  большая сторона равна  х/2+х/2+6=х+6 р : 2=(х+х+6)=14 2х=8 х=4 ав=cd=4  меньшая  сторона прямоугольника bc=ad=14-4=10 [email  protected] 

Объяснение:

1)

Сумма углов в треугольнике равна 180°

Пусть градусная мера угла <М будет 2х°; второго угла <N 4х°; третьего <P 3х°.

Составляем уравнение.

2х+4х+3х=180°

9х=180

х=180/9

х=20

2*20=40° угол <М

4*20=80° угол <N

3*20=60° угол <Р.

ответ: <М=40°; <N=80°; <P=60°

2)

<A+<B=160°; внешний угол равен сумме углов не смежных с ним.

Пусть градусная мера угла <А будет 2х°; <В будет 3х°.

Составляем уравнение

2х+3х=160°

5х=160

х=160/5

х=32

32*2=64° угол <А

32*3=96° угол <В

Сумма углов в треугольнике равна 180°

<ВСА=180°-<А-<В=180°-64°-96°=20°

ответ: <А=64°; <В=96°; <ВСА=20°

3)

<ВКО=180°, развернутый угол.

<ВКС=<ВКО-<СКО=180°-105°=75°

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

<ВКС=<ВСК=75°

Сумма углов в треугольнике равна 180°

<В=180°-<ВКС-<ВСК=180°-75°-75°=30°

Рассмотрим треугольники BOC и DOA:

AO=0C и BO=OD- по условию;

<BOC = <DOA-как вертикальные;

треугольник ВОС = треугольнику DОА - по двум сторонам и углу между ними.

• В равных треугольниках углы, лежащие напротив равных сторон, равны.

<CBO лежит напротив ОС;

<ADO лежит напротив АО;

OC = AO следует <EBO = <ADO.

<CBO и <ADO - накрест лежащие углы при пересечении ВС и AD с секущей BD.

Раз <CBO=<ADO, то по признаку параллельности прямых получим, что вс|| AD. Что и требовалось доказать.