Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30 градусов, биссектриса, проведённая у основанию, равна 6 см. найдите основание и площадь треугольника. можно решение

Биссектриса делит треугольник на 2 прямоугольных треугольника. рассмотрим один из них. катет, лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. следовательно гипотенуза равна 12. по теореме пифагора находим второй катет. корень из (144-36) = корень из 108. далее основание равно 2  корня из  108. площадь треугольника равна половина произведения основания на высоту. следовательно, 6  х  2  корня из  108 х 0,5 = 6 корней из  108.

раз  стороны  треугольника  относятся  как   3: 4: 5  следует,  что  этот  треугольник

египетский  то  есть  прямоугольный.  пусть    коэффициент  пропорциональности

будет  равен      х.        тогда  его    стороны  будут  равны    а  =  3х,      в    =    4х,        с    =    5х.

р    =    а + в + с

120  =    3х + 4х + 5х

12х  =  120

  х          =    120/12

х  =  10

а  =  3*10  =  30(см)

в  =  4*10  =  40(см)

с  =  5*10  =  50(см)

 

ответ.              30см,          40см,          50см.

1. я продолжаю катеты за вершины острых углов - катет a   на величину второго катета b, и наоборот. если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a + b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a + b). 

2. вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы пифагора).

3. если повернуть построенный квадрат (со стороной (a + b) ) на 90° вокруг его центра, то он перейдет "сам в себя". при этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. поэтому центры этих квадратов . 

4. таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a + b) и образует с катетами углы в 45°. его величина равна p = (a + b)√2/2;

5. отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q =  (a + b)√2/2 и тоже образует с катетами углы  45°. поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в треугольнике (при этом q - основание).

окончательно s = p*q/2 = (a + b)^2/4 = (6 + 8)^2/4 = 49