Две стороны треугольника равны 7, 5 см и 3, 2 см. высота, проведённая к большей стороне, равна 2, 4 см. найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.

S=a×h1÷2 s=7.5×2.4=18 s=b×h2÷2 h2=2×s÷b h2=2×18÷3.2=11.25

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. треугольники, прилегающие к основаниям трапеции,  подобны по первому признаку подобия: "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны", т.к  < cad=< acb, а < bda=< dbc как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ad и вс и секущих ас и вd соответственно. итак, треугольники аоd и сов подобны с коэффициентом подобия вс/аd=5/7. тогда ао/ос=do/ob=5/7. ответ: диагональ трапеции разбивается другой диагональю на отрезки в отношении 5: 7.

Если точки равноудалены от данной прямой, то любые две из них (а и в) могут быть по разные стороны от данной прямой, и поэтому они не лежат на прямой, параллельной данной. любая другая с ними точка с не лежит на прямой этих двух точек (а и в) . в противном случае, эти три точки не были бы равноудалёнными от прямой (при построении получаются три прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом. два из них равны, а третий не равен двум другим. катеты трёх треугольников - это расстояния от точек до прямой, и они получаются неодинаковыми. если же известно, что все точки, равноудалённые от данной прямой, лежат по одну сторону от неё, то они все лежат на одной прямой, параллельной данной. и никакая точка, не равноудалённая от данной прямой, не будет лежать на одной прямой с данными точками. это легко доказать. выбираем две любые точки из данных. опускаем перпендикуляры от них на данную прямую. они параллельны между собой, т. к. перпендикулярны одной и той же прямой. они равны по условию. значит получается параллелограмм. он содержит прямой угол, т. е. это - прямоугольник. в нём противолежащие стороны параллельны. значит, прямая, проходящая через две данные точки, параллельна данной. далее проводим через одну из этих точек и через любую третью из данных прямую. по предыдущему, она параллельна данной прямой. она также совпадает с ранее построенной прямой (если бы это было не так, то через одну и ту же точку проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, что невозможно по пятому постулату евклида. если взять любую неравноудалённую точку, то проводя через неё и одну из данных точек прямую, а затем через каждую из этих точек - перпендикуляры к данной прямой, то в предположении, что неравноудалённая точка будет лежать на той же прямой (которая параллельна данной) , мы получили бы прямоугольник (две стороны параллельны по предположению, две стороны - как перпендикуляры к одной и той же прямой, есть прямой угол) . в нём противолежащие стороны (перпендикуляры) должны быть равны, а на самом деле они не равны, т. к. точки не равноудалены. противоречие. значит неравноудалённая точка не лежит с равноудалёнными на одной прямой.