Вравнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию 8 см. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Возьмем прямоугольный треугольник, который образовался при проведении биссектрисы (которая является медианой и высотой). гипотенуза = 10, катет 8, то другой катет = √100-64=6 значит катет тр-ка равен 6, то основание = 12;   r=s/p, где p-полупериметр; s=1/2*8*12=48 p=(10+10+12)/2=16 то r=48/16=3 см s=abc/4r; r=abc/4s r=10*10*12/4*48=1200/192=6.25

1. сначала рисуем основание и от одного из его концов, с циркуля, в сторону направления второй стороны,  рисуем полукруг, равный по радиусу этой известной стороне. 2. затем с циркуля с двух концов основания восстанавливаем перпендикуляры к самому основанию (как это делать вы знаете). 3. с линейки отмеряем известную высоту на обоих перпендикулярах, начиная от основания. 4 соединяем вершины высот прямой линией  с линейки. полученная линия параллельна основанию. 5. место пересечения этой линии и полуокружности - это вершина нужного треугольника. соединим её с концами основания. 6. с циркуля нарисуем второй полукруг к вершине от другого конца основания так, чтобы оба полукруга пересекались сверху и снизу. соединим точки их пересечения. получится высота треугольника.

Решение: sabcd=ef*(ad+bc)/2=2000pabcd=ab+bc+cd+ad=200ab=cd (так как трапеция равнобедренная). чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е.ad+bc=ab+cdad+bc=2ab (т.к. ab=cd)тогда: pabcd=ab+bc+cd+ad=ab+2ab+ab=4ab=200ab=50значит, ad+bc=2*50=100sabcd=ef*(ad+bc)/2=ef*100/2=ef*50=2000ef=40проведем высоту bh, как показано на рисунке.bh=ef=40, так как befh - прямоугольник.ah=(ad-bc)/2по теореме пифагора: ab2=bh2+ah2502=402+ah22500=1600+ah2900=ah230=ah=(ad-bc)/260=ad-bc, вспомним, что ad+bc=10060=ad-(100-ad)60=ad-100+ad160=2adad=80тогда bc=100-80=20рассмотрим треугольники akf и ckeaf=ad/2=40ce=bc/2=10∠afk=∠cek=90°∠akf=∠cke (т.к. они вертикальные)по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.тогда, af/ce=kf/ke40/10=kf/ke4=(ef-ke)/ke (вспомним, что ef=40)4ke=40-ke5ke=40ke=8ответ: ke=8