Точки к и м лежат на сторонах соответственно ав и вс треугольника авс, причем вк: ка=1: 4, вм: мс=3: 2. прямая мк пересекает продолжение стороны ас в точке т. найдите ас: ст.

Важная . пусть прямая bp ii km пересекает продолжение ac в точке p. тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства ak/kb = at/tp; bm/mc = tp/ct; если перемножить эти равенства, то получится (ak/kb)*(bm/mc) = at/ct;   (*) если подставить ak/kb = 4; bm/mc = 3/2; то at/ct = 4*3/2 = 6; at = ac + ct; то есть ac/ct + 1 = 6; ac/ct = 5; если вернуться к соотношению  (*)  ( ak/kb)*(bm/mc) = at/ct;   то его можно переписать так (ak/kb)*(bm/mc)*(ct/at) = 1; или (ak*bm*ct)/(kb*mc*at) = 1; это выражение называется теорема менелая. ps.  вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников akt и  abp и треугольников cmt и  cbp. это то же самое. 

А)  если  вершины квадрата mnkp делят каждую сторону квадрата abcd в отношении 3: 4, то каждая из  его  сторон разделена на 2  части, равные:     (28/ (3+4))*3 =  12 см и  (28/ (3+4))*4 =  16 см  . между сторонами треугольников авсд и  mnkp образуются треугольники. где гипотенузой являются стороны квадрата    mnkp, а катетами - отрезки сторон квадрата авсд по 12 и 16 см. отсюда сторона квадрата  mnkp равна  √(12²+16²) =  √(144+256) =  √400 = 20 см. б) чтобы найти  сторону квадрата  abcd, если  mn=10 см, примем её за х. тогда катеты в рассмотренных ранее треугольниках будут равны (3/7)х и (4/7х.по пифагору    ((3/7)х)² + ((4/7х)² = 10² (9/49)х²+(16/49)х² = 100 25х² = 100*49 х² = 4*49 х = 2*7 = 14 см.

Пусть дана трапеция авсd. диагонали трапеции   делят ее на 4 треугольника, из которых  два подобны.  △аоd подобен  △вос.  отношение ао : ос=13 : 3 ⇒ аd : вс=13 : 3 ∠свd=∠вdа по свойству углов при параллельных прямых и секущей но вd - биссектриса ∠авс   ⇒ ∠свd=∠авd, ⇒ ∠вdа=∠авd.  △авd - равнобедренный с равными углами при основании вd и равными сторонами ав=аd   пусть коэффициент отношения оснований будет х. тогда вс : аd=3х : 13х ав=аd=13х опустим высоту вн на аd треугольник авн - прямоугольный.  ан=(аd-вс) : 2= 5х ав²-ан²=вн² 169х²-25х²=576 144х²=576 х²=4 х= 2 см вс=2*3= 6 см аd=2*13= 26 см площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований: s abcd= bh(bc+ad) : 2=24*16= 384 см² [email  protected]