Знайдіть площу ромба, периметр якого дорівнює 16√2 см, а один із кутів 135°.

S=a²sinα а=16√2: 4=4√2 см s=(4√2)²sin135⁰=32sin(180⁰-45⁰)=32·sin45⁰=32·(√2/2)=16√2 cм²

Проведем отрезок остреугольники aco и bco - прямоугольные то есть углы cao и cbo равны по 90° каждый.oc - является  биссектрисой   для угла acb   следовательно углы aco и bco равны 68/2=34 180°=∠oac+∠aco+∠coa ∠coa=180°-90°-34=56 аналогично, для треугольника bco получим, что ∠cob=56 ∠aob=∠coa+∠cob=56+56=112проведем отрезок ab и рассмотрим треугольник abo. по  теореме о сумме углов треугольника   запишем: 180°=∠aob+∠bao+∠abo 180°=112°+∠bao+∠abo abo  равнобедренный   треугольник, т.к. oa и ob - радиусы окружности и, поэтому, равны. следовательно ∠abo=∠bao (по  свойству равнобедренного треугольника). и получается, что ∠abo=∠bao=68/2=34

ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)

объяснение: центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ ан - биссектриса угла ваd, о - центр окружности. ок и ое - радиусы, проведенные к точкам касания. по свойству отрезков касательных,   проведенных к окружности из одной точки.   ак=ае; de=dh; fk=fh

  примем ак=ае равным х. тогда еd=dh=9-х.

а) рассмотрим рисунок приложения.   угол afd=∠cdf (накрестлежащие при fa||cd и   секущей fd)   но ∠cdf=∠adf (df- биссектриса ) ⇒ ∠аfd=∠fda. ⇒ ∆ fad – равнобедренный и af=ad=9.

  ан - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ ан – его высота и медиана ( свойство). ⇒ fн=нd=9-х

  аналогично в ∆ кае   биссектриса ам равнобедренного ∆ аке - медиана и высота. ⇒ км=мк=4: 2=2.

      прямоугольные ⊿ мае и ⊿ нad   подобны по общему острому углу при а.   из подобия следует отношение dh: ем=da: еа.

т.е. (9-х): 2=9: х., откуда получаем х²-9х+18=0.   по т.виета х₁+х₂=-(-9)=9;     х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6

  по условию ае< ad, поэтому ае=3, ed=6

из ⊿ анd по т.пифагора ан=√(ad*-dh*)=√(81-36)=3√5

  ⊿ аое и ⊿ аdh подобны по общему углу при вершине а, из чего следует ое: dh=ae: ah ⇒ r=ae•dh: ah =3•6: 3√5.=6/√5.

б) при условии, что окружность касается стороны bc параллелограмма, диаметр ре окружности, вписанной в угол ваd, будет высотой параллелограмма. s=h•a=2r•ad=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)