Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону на отрезки 13 и 15. найдите площадь треугольника если сумма других сторон равна 56.

пусть х и у - неизвестные стороны тр-ка. тогда по свойству биссектрисы угла тр-ка:

х/у = 13/15

х+у = 56 (по условию).    решаем систему:

15х-13у = 0

13х+13у = 728    сложим: 28х = 728, х = 26;   у = 30.

третья сторона по условию: 13+15 = 28.

полупериметр: р = (26+28+30)/2 = 42

по формуле герона:

s = кор(42(42-26)(42-28)(42-30)) = кор(42*16*14*12) = 336.

ответ: 336.

Найдем площадь треугольника PKT:

p_{\triangle PKT} = \frac{PK+KT+PT}{2}=\frac{17+65+(30+50)}{2}=\frac{82+80}{2}=\frac{162}{2}=81 \ cmp

△PKT

=

2

PK+KT+PT

=

2

17+65+(30+50)

=

2

82+80

=

2

162

=81 cm

\begin{gathered}S_{\triangle PKT} = \sqrt{p_{\triangle PKT}\cdot (p_{\triangle PKT}\cdot PK)\cdot(p_{\triangle PKT}-KT)\cdot(p_{\triangle PKT}-PT)}= \\ \\ =\sqrt{81\cdot(81-17)\cdot(81-65)\cdot(81-80)}=\sqrt{81\cdot 64\cdot16\cdot 1}=9\cdot8\cdot 4=288 \ cm^2\end{gathered}

S

△PKT

=

p

△PKT

⋅(p

△PKT

⋅PK)⋅(p

△PKT

−KT)⋅(p

△PKT

−PT)

=

=

81⋅(81−17)⋅(81−65)⋅(81−80)

=

81⋅64⋅16⋅1

=9⋅8⋅4=288 cm

2

H=\frac{2S_{\triangle PKT}}{PT}=\frac{2\cdot 288}{80}=\frac{288}{40}=\frac{144}{20}=\frac{72}{10}=7,2 \ cmH=

PT

2S

△PKT

=

80

2⋅288

=

40

288

=

20

144

=

10

72

=7,2 cm

\begin{gathered}S_{\triangle PKC}=\frac{1}{2}\cdot H\cdot PC=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 30=\frac{1}{2}\cdot \frac{72}{10}\cdot 30=36\cdot 3 =108 \ cm^2 \\ \\ S_{\triangle KCT}=\frac{1}{2}\cdot H\cdot CT=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 50=\frac{1}{2}\cdot \frac{72}{10}\cdot 50=36\cdot 5=180 \ cm^2 \\ \\\end{gathered}

S

△PKC

=

2

1

⋅H⋅PC=

2

1

⋅7,2⋅30=

2

1

⋅

10

72

⋅30=36⋅3=108 cm

2

S

△KCT

=

2

1

⋅H⋅CT=

2

1

⋅7,2⋅50=

2

1

⋅

10

72

⋅50=36⋅5=180 cm

2

∆авс - равнобедренный, ав = вс. о - центр вписанной окружности, ас = 10 см. г∆аdк + р∆nмс + р∆евf = 42 см. найти: ав. решения: по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: кр = кх, xn = nl, lm = my, yf = fr, re = ez, zd = dp. kn = kx + xn, nm = nl + lm, mf = my + ye, fe = fr + re, de = d + zd, dk = dp + pk. отсюда имеем: kn + fm + ed = nm + fe + zк. ав + вс + ac = (ad + de + eb) + (bf + fm + mc) + (ak + kn + nc) = = (be + bf) + (cm + cn) + (ak + ad) + (de + fm + кn) = = (be + bf) + (cm + cn) + (ak + ad) + (zk + fe + nm) = = (be + bf + ef) + (cm + cn + mn) + (ak + ad + dk) = = г∆аdк + р∆nмс + р∆евf = 42 см. ac = 10 см, 2ав + 10 = 42; 2ab = 42 - 10 = 32; ac = 16 см. ответ: 16 см.