Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 45°, то треугольник равносторонний (с объяснением)

данное утверждение неверно.

треугольник считается равносторонним, если все его углы равны по 60 градусов (в принципе можно остановиться и на этом, ведь уже известно, что один из его углов не равен 60 градусам, но я все равно продолжу дальше).

углы при основании равнобедренного треугольника равны. найдем их сумму: 180-45=135 градусов. найдем каждый из этих углов: 135÷2=67,5 градусов.

таким образом, мы еще раз убедились, что все углы треугольника не равны между собой, а значит треугольник не равностороний

пусть треугольники abc и a1b1c1 такие, что ab=a1b1, ac=a1c1, bc=b1c1. требуется доказать, что треугольники равны.

допустим, что треугольники не равны. тогда ∠ a ≠ ∠ a1, ∠ b ≠ ∠ b1, ∠ c ≠ ∠ c1 одновременно. иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

пусть треугольник a1b1c2 – треугольник, равный треугольнику abc, у которого вершина с2 лежит в одной полуплоскости с вершиной с1 относительно прямой a1b1.

пусть d – середина отрезка с1с2. треугольники a1c1c2 и b1c1c2 равнобедренные с общим основанием с1с2. поэтому их медианы a1d и b1d являются высотами. значит, прямые a1d и b1d перпендикулярны прямой с1с2. прямые a1d и b1d не , так как точки a1, b1, d не лежат на одной прямой. но через точку d прямой с1с2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. мы пришли к противоречию. теорема доказана.

Доказательство.  рассмотрим треугольники  abc  и  a1b1c1, у которых  ab = a1b1, bc = b1c1, ca = c1a1  (рис. 84), и докажем, что эти треугольники равны. приложим треугольник  abc  к треугольнику  a1b1c1  так, чтобы вершина  a  и  a1, b  и  b1  совместились, а вершины  c  и  c1  оказались по разные стороны от прямой  a1b1  (рис. 85,  а). проведем отрезок  cc1. если он пересекает отрезок  a1b1, то получим два равнобедренных треугольника:   a1c1c  и  b1c1c  (рис. 85,  б). значит, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, и, следовательно,  ∠c = ∠c1. итак,  ac = a1c1, bc = b1c1  и  ∠с = ∠с1, поэтому треугольники  abc  и  a1b1c1  равны по первому признаку равенства треугольников.