Вравнобедренном треугольнике abc из середины м стороны ас опущен перпендикуляр мк на сторону вс. найдите периметр треугольника авс, если кс=3см.

Теорема. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.    доказательство.обратимся к рисунку, на котором авс — равнобедренный треугольник с основанием вс, аd — его биссектриса. из равенства треугольников авd и асd (по 2 признаку равенства треугольников: ad-общая; углы 1 и 2 равны т.к. ad-биссектриса; ab=ac,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что вd = dc и 3 = 4. равенство вd = dc означает, что точка d — середина стороны вс и поэтому аd — медиана треугольника авс. так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. следовательно, отрезок ао является также высотой треугольника авс. теорема доказана.

3. пусть авс - прямоугольный треугольник, данный по условию, ав и ас = 12 см - катеты, вс - гипотенуза.
проведем из вершины а к гипотенузе вершину ан. отрезок вн - это проекция катета ав на гипотенузу, а отрезок нс = 8 см - проекция катета ас на гипотенузу.
рассмотрим треугольник анс: ас = 12 см - гипотенуза (так как лежит против угла анс, который равен 90 градусов, так как ан - высота, то есть перпендикуляр, опущенный к вс), нс = 8 см - катет.
каждый катет треугольника - среднее гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:
ac^2 = вс * нс;
12^2 = вс * 8;
8вс = 144;
вс = 18 см.
в треугольнике авс известны гипотенуза вс = 18 см, катет ас = 12 см. найдем второй катет ав по теореме пифагора:
ab = √(bc^2 - ac^2);
ab = √(18^2 - 12^2) = √(324 - 144) = √180 = 6√5 (см).
площадь треугольника авс равна половине произведения его катетов:
s = (ab*ac) / 2;
s = (6√5*12) / 2 = 36√5 (см квадратных).
ответ: s = 36√5 см квадратных.