Вправильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 30 градусов, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно 3 см. найдите объём этой пирамиды. (желательно с чертежом)

обозначим пирамиду авсs(смотри рисунок). пирамида правильная значит в основании лежит правильный треугольник( обозначим его сторону а) и высота оs пирамиды проецируется в центр основания. кратчайшее расстояние мк перпендикулярна аs. из треугольника sвк найдём боковое ребро. прямоугольные треугольники амк и аsо подобны по острому углу sао. отсюда находим н. дальше по теореме пифагора, из треугольника аsо находим выражение  а квадрат. подставляем найденные значения в известную формулу. ответ на рисунке.

  правильная пирамида - все углы равны и стороны равны.таким образом, задан тетраэдр.

 

плоский угол при вершине - угол между двумя ребрами.

 

пусть боковая сторона равна а.

рассмотрим прямоугольный треугольник abc, образованный боковой стороной тетраэдра, её проекцией на основание и высотой пирамиды.

 

ясно, что основание высоты равноудалено от вершин основания, то есть проекция бокового ребра на основание есть радиус r описанной окружности вокруг треугольника со стороной а, т. е. r =;

 

заданный отрезок длины 3 является в построенном прямоугольном треугольнике медианой, то есть равен половине гипотенузы. а роль гипотенузы играет боковое ребро. поэтому а = 6 

 

площадь правильного треугольника со стороной 6 равна = 6^2*√3/4; а всего у нас 4 одинаковых грани, то есть площадь всей поверхности пирамиды равна

 

 

1.диагонали ромба разбивают его на 4 прямоугольных треугольника. так как диагонали ромба  в точке пересечения делятся пополам, катеты каждого треугольника равны 8/2=4 и 6/2=3. гипотенузой такого треугольника будет сторона исходного ромба. её можно найти по теореме пифагора -  . значит, сторона ромба равна 5 см (в ромбе все стороны равны). 2.площадь прямоугольника со сторонами 4 и 6 равна 6*4=24. раз квадрат и прямоугольник равновелики, площадь квадрата также равна 24.  сторона квадрата с площадью 24 равна  см.

1. в тр-ках abc и acd опустим перпендикуляры на сторону ac. очевидно, они упадудт в одну точку, т. к. тр-ки равнобедренные. назовем эту точку h. в тр-ке bdh угол bdh - прямой (т. к. bd перпендикулярна плоскости acd). найдем bh: в тр-ке abc по т-ме пифагора bh^2+6^2=4*21; bh=4*sqrt(3) //sqrt - это знак корня, т. е. 4 корня из трех. найдем ad: в тр-ке adc по т-ме пифагора 2*ad^2=12^2; ad=6*sqrt(2). //не забываем, что ad=ac. найдем dh исходя из площади тр-ка adc: dh*12=ad*ac; dh*12=36*2; dh=6. в прямоугольном тр-ке bdh (угол bdh - прямой) гипотенуза равна 4*sqrt(3), а катет hd=6. отсюда угол bhd=arccos(6/(4*sqrt(3))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6=30градусов. ответ: 30 градусов. 2. поступаем аналогично 1-й : вначале опускаем перпендикуляры bh и dh на сторону ac. далее по т-ме пифагора находим dh: dh^2=6^2+61; dh=sqrt(97) далее по т-ме пифагора находим bh: bh^2=10^2+6^2; bh=2sqrt(34). отсюда по т-ме косинусов в тр-ке dbh считаем bd: bd^2=(2sqrt(34)^2+sqrt(97)^2-2*2sqrt(34)*sqrt(97)*cos(60))= bd^2=136+97-2*sqrt(3298)=233-2sqrt(3298). далее можно при желании. проверьте на всякий случай арифметику.