Внешний угол при вершине с треугольника авс равен 90, стороны ca=12 и cb=5, найдите длину медианы сd, проведенной к стороне ab.

Медиана cd проведенной к стороне ав, равна половине гипотенузе, тоесть ответ: cd = 6.5.

∠1 и ∠3 ; ∠2 и ∠4 - являются вертикальными (по определению).

Естественно, что ∠1 - ∠3 ≠ 37° и ∠2 - ∠4 ≠ 37°, так как по свойству вертикальных углов они равны, (это значит, если вычитать из вертикального угла вертикальный этому углу угол, то получиться 0°).

То есть делаем вывод, что в условии имеется ввиду разность смежных углов.

∠1 и ∠2 - смежные (∠1 > ∠2).

Поэтому, по выше сказанному, пусть ∠1 - ∠2 = 37°.

Смежные углы в сумме дают 180°.

Составим систему и решим её (решим с сложения) :

\{ {\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} } \atop {\angle 1 - \angle 2 = 37^{\circ}}} .

Складываем обе части уравнений и приводим подобные слагаемые :

∠1 + ∠2 + ∠1 - ∠2 = 180° + 37°

2∠1 = 217° ⇒ ∠1 = 217° : 2 = 108,5°.

Вернёмся во второе уравнение системы, подставим туда значение ∠1 и найдём значение ∠2 :

∠1 - ∠2 = 37°

108,5° - ∠2 = 37°

-∠2 = 37° - 108,5°

-∠2 = -71,5° ⇒ ∠2 = 71,5°.

По выше сказанному :

∠1 = ∠3 = 108,5°

∠2 = ∠4 = 71,5°.

108,5°, 71,5°, 108,5°, 71,5°.

№1. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна а, а диагональное сечение - равносторонний треугольник. Найти объем пирамиды.

--------

Пирамида QABCD, QO -  высота,  АQC- диагональное сечение, АВ=а.

V=S•h:3

S=a²

h=AC√3/2  

AC=a:sin45°=a√2

h=a√6/2

V=a³√6/6

----------------------------------------

№2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема – 15 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.  

      Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, следовательно, QH⊥CD. По т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥CD.  

По т.Пифагора ОН=9 ( можно обойтись без вычислений, т.к. ∆ QOH- египетский, где отношение катет:гипотенуза=4:5).

ОН - половина АD, ⇒АD=2OH=18 (см)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания.  

S=15•18•4:2=540 см².

————————

№3. Условие неполное.  

Объем  V  правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC), на высоту h (OS)

Формула площади основания S=a²√3/2. Зная высоту, несложно вычислить объём данной пирамиды.  

———————

№4.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.  

S(бок)=3•MH•AB:2=3•8/3•8:2=32

————————

№5  

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.  

————————

№6.

Найти объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником.  

———————

Решения задач 4,5,6  даны в приложениях.

Объяснение: