С: в прямоугольник вписан четырёхугольник, вершины которого с серединами сторон прямоугольника. периметр вписанного четырёхугольника равен 40. найдите периметр прямоугольника, зная, что его смежные стороны относятся как 8: 6

вписанный четырехугольник - ромб (стороны прямоугольных треугольников равны, а значит равны их гипотенузы), гипотенузы - стороны ромба,   периметр сумма всех сторон, значит сторона равна 40: 4=10.

соотношение сторон 8: 6. возьмем 1 часть за х. одна сторона 8х, вторая 6х, а их половины 4х и 3х соответственно. это катеты прямоугольного треугольника

16х^2+9х^2=100 (10-гипотенуза)

х=2

тогда стороны 16 и 12см, а периметр прямоугольника 2*(16+12)=56

Из 10 класса: рассмотрим прямую а и точку м, не лежащую на этой прямой. через прямую а и точку м прохолит плоскость, и притом только одна. обозначим эту плоскость буквой b. прямая, проходящая черещ точку м параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой м и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости b. но в плоскости b через точку м проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна.(пусть это будет прямая с) итак, с - единственная прямая, проходящая через точку м параллельно прямой а.

Опустим из вершин тупых углов трапеции высоты к   большему основанию. часть большего основания и высота, как катеты, и боковая сторона - гипотенуза, образовали прямоугольный треугольник из тех, что называют египетскими. стороны в нем относятся как 3: 4: 5. поэтому без вычислений ( хотя можно и теорему пифагора применить) можно определить, чтоменьший катет этого треугольника кратен 3. а так как боковая сторона вдвое больше 5,то и катет нd вдвое больше трех иравен 6 см.  это - проекция боковой стороны на большее основание. точно так же с другой стороны от большего основания отсекается высотой отрезок, равный 6 см.   так как большее основание равно 17, то средняя его часть равна  17-6*2=5 см эта часть является стороной прямоугольника, равной меньшему основанию.  вс=5 см осталась арифметика: периметр трапеции равен 5+17+2*10=42 см