Площадь прямоугольного треугольника равна578 корней из 3 делённое на 3. один из острых углов равен 30°. найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

обозначим треугольник авс, с=90°, в=30°

пусть ас=а, тогда гипотенуза ab= а: sin30°=2a.

∠а=90°-30°=60°

площадь треугольника равна половине произведения сторон, умноженного на синус угла между ними. 

s=ab•ac•sin60°: 2

578√3/3=(a•2a•√3/2): 2=a²√3/2

a²=(289•2√3: 3): (√3/2)=289•4/3

a=17•2/√3=34/√3

bc=ac•tg60°=(34/√3)•√3=34

проверка:

s=a•b: 2

s=34•34/√3): 2=578/√3=578√3/3

1.пусть авс равносторонний треугольник. тогда

  1) ав=вс=ас =6√3/3 =2√3

  2) в равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности и есть точка о - точка пересечения медиан и все углы равны по 60 градусов

  3) проведём высоту вк (она же и медиана) тогда из треугольника авк

  вк =ав*sin60 = 2√3*√3/2 = 3см

  4) тогда по свойству медиан треугольника ок =вк/3 = 3/3 =1см = r

  ответ r =1см

2.1) получаем прямоугольный треугольник аво

по т пифагора: ва=корень(ао^2-ob^2) =корень(41^2-9^2) =корень(1600) =40

3. т.к. точка о является точкой пересечения серединных перпендикуляров, то все три перпендикуляра равны. ао=ов=ос=10 см. следовательно, периметр вос=во+вс+ос=32

если соединить середину ребра ас точку м с серединой ребра вд (точкой к), то получим отрезок мк, перпендикулярный и вд и ас (общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым вд и ас.это следует из того, что в  δмвд мв=мд ( это высоты в равных гранях тетраэдра) ⇒ мк перп-но вд (медиана в равнобедренном  δ явл-ся и высотой).аналогично,  δакс равнобедренный и медиана км явл. высотой. плоскость акс перпенд-на вд, так как ак перп.вд (в  δавд) и кс перп. вд (в  δвсд).

δакс - искомое сечение.ас=а.ак=кс.изδавд найдем ак.

ак²=ад²-кд²=а²-(а/2)²=3а²/4,   ак=а√3/2.

изδакс: км²=ак²-ам²=3а²/4-а²/4=2а²/4=а²/2,   км=а/√2

площадь  δакс: s=км*ам=а/√2 * а/2=а²/(2√2)=а²√2/4

периметр р=а+2*а√3/2=а+а√3=а(1+√3)