Дан куб авсdа₁в₁с₁d₁ а) постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер ав, в₁с₁, аd. б) найдите угол между плоскостью а₁вd и плоскостью, проходящей через середины рёбер ав, в₁с₁, аd.

Построение сечения.   1. проводим пряную еf до пересечения с продолжениями отрезков св (f1) и сd (е1). еf -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания. 2. проводим прямую нf1, пересечение этой прямой с ребром вв1 - точка g. gh - линия пересечения секущей плоскости и грани вв1с1с. 3. соединим точки f и g. fg  - линия пересечения секущей плоскости и грани аа1в1в. 4. плоскости авсd и а1в1с1d1 параллельны, значат линия нк пересечения секущей плоскости и грани а1в1с1d1 будет проходить через точку н параллельно прямой еf. 5. проводим прямую ке1, пересечение этой прямой с ребром dd1 -точка р. кр -линия пересечения секущей плоскости и грани dd1c1c. 6. соединим точки р и е. ре -линия пересечения секущей плоскости и грани аа1d1d. нахождение угла. угол между плоскостью сечения efghkp и плоскостью а1вd -угол a1rq = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения мn данных двух плоскостей. заметим, что этот угол равен углу а1ос1, так как ql параллельна с10 (так как lо=с1q, потому что ef - средняя линия прямоугольного треугольника аеf и аl=lo=c1q). половина диагонали основания (квадрата со стороной а) со равна а*√2/2. а тангенс угла с10с равен сс1/со = а*2/а*√2 = √2. по таблице тангенсов угол с10с  ≈ 55°. значит и симметричный с ним угол а1оа =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°.  ответ: угол между плоскостями fgнкре и a1bd ≈ 70°. ответ в приложенном рисунке.

Обозначим сторону квадрата в основании пирамиды за х. площадь основания so = x². высота н =  √((6√3)²-(x√2/2)²) =  √(108-(x²/2)) =  √(216-x²)/√2. объём пирамиды v = (1/3)soh = (1/3)x²*√(216-x²)/√2 = x²* √(216-x²)/3√2.находим производную функции объёма: для нахождения экстремума приравняем производную нулю. для этого достаточно приравнять числитель нулю. -х(х²-144) = 0, х = 0 (это значение отбрасываем, объём vmin = 0). х²-144 = 0 х = +-√144 = +-12. vmax = (1/3)*12²*√(108-(144/2)) = (1/3)*144*√36 = 144*6/3 = 288 куб.ед.

Дано:   a(0; 8) в(1; 1) с(-9; -4).1)  уравнение стороны ас: это канонический вид уравнения. 12х-9у+72 = 0, сократим на 3: 4х-3у+24 = 0   общий вид этого уравнения.у = (4/3)х+8   уравнение с коэффициентом.2)  уравнение высоты, проведенной из вершины в.эта высота перпендикулярна ас и имеет коэффициент при х, равный -1/(4/3) = -3/4.уравнение высоты из точки в имеет вид у = (-3/4)х+в.для нахождения коэффициента в в полученное уравнение подставим координаты точки в.1 = (-3/4)*1+в,в = 1+(3/4) = 7/4.тогда уравнение примет вид у = (-3/4)х+(7/4) или в общем виде  3х+4у-7 = 0.3)  длина высоты из  вершины в.надо найти координаты основания высоты как точку пересечения высоты и стороны ас.4х-3у+24 = 0|x3       12x-9y+72 = 0 3х+4у-7   = 0|x-4       -12x-16y+28 = 0                                                                  -25y+100   =0       y = 100/25 = 4. x = (3y-24)/4 = (3*4-24)/4 = -12/4 = -3. точка д(-3; 4). длина высоты вд равна: bд = √((хд-хв)²+(уд-ув)²) =  √25 =  5.4)  угол а. для этого найдём длины сторон: 1) расчет длин сторон ав = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) =  √50 =  7,071067812,bc = √((хc-хв)²+(ус-ув)²) =  √125 =  11,18033989,ac = √((хc-хa)²+(ус-уa)²) =  √225 =  15. cos a=  (ав²+ас²-вс²)/(2*ав*ас)   = 0,707107   a = 0,785398 радиан   = 45 градусов.