На высоте ан равнобедренного треугольника авс с прямым углом а взята точка о. докажите, что треугольники аов и аос равны.

радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной. пусть треугольник авс, угол с=90градусов, о-центр вписанной окружности. проведём радиусы ок, ом, он, ок=ом=он=2,  ом перпендикулярно вс, он перпендикулярно ас, ок перпендикулярно ав. нс=см=2,   пусть мв=х, тогда кв=х, ак=10-х, ан=10-х. по т. пифагора

(2+х)^2+(2+10-x)^2=10^2

4+4x+x^2+144-24x+x^2-100=0

2x^2-20x+48=0

x^2-10x+24=0

x=6. x=4

ас=6, вс=8

s(авс)=1/2*ас*вс=1/2*6*8=24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решать можно по разному

1. треугольник аке прямоугольный - только в прямоугольном треугольнике медиана = 1/2 гипотенузы, кр=ре =ар , ар - медиана, ке - гипотенуза

2. угол сан - внутренний, угол мас - внешний, ав и ад - биссектрисы, угол еан=углуаер как внутренние разносторонние = углу еас, т.к. треугольник аер равнобедренный ар=ре,

угол мак=углуакр как внутренние разносторонние = углу кар  треугольник акр равнобедренный кр=ар

биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны, угол вад=90

3. угол еас=углу еан =х, угол сан= х+х=2х, угол мас = 180-2х, угол мав=углувас =

=(180-2х)/2=90-х, угол вад  =(90-х) + х =90