Дано: треугольник мкп угол к=90 градусов угол п=30 градусов мк=10см. найти: кп, мп

1)мп = 2км = 10*2 = 20 (см)  (катет, лежащий против угла в 30 град, равен половине гипотенузы)

2) по теореме пифагора: кп^2 = мп^2 - мк^2 = 400-100=300

кп = 10√3 (см)

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. биссектриса - геом. место точек, равноудаленных от сторон угла. если окружность касается сторон угла, ее центр удален от сторон угла на радиус, следовательно лежит на биссектрисе угла. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра. если требуется док-во через треугольники, то проводим радиусы в точки касания, образованные треугольники равны по общей гипотенузе и катетам, острые углы равны.

1прямоугольник, вращаясь, образует цилиндр, высота равна больше стороне, h = 4 см, радиус основания равен меньшей стороне, r = 3 см полна поверхность s = 2πrh  + 2πr² s = 2π(3*4 + 3²)  = 2π(12 + 9) = 42π  см² 2 со стаканом я в некотором затруднении, т.к. у него есть внешняя и внутренняя поверхности, для определённости посчитаем все варианты, и порознь, и вместе. в качестве единиц измерения предположим миллиметры, стакан высотой 50 см уместнее называть ведром : ) площадь одной стороны дна стакана s₁  = πd²/4 = π26²/4 = π13² = 169π    мм² площадь одной стороны, боковая поверхность s₂  = πdh = π*26*50 = 1300π мм² одна сторона, дно + боковушка s₁ + s₂ = 169π + 1300π = 1469π  мм² две стороны, дно + боковушка 2s₁ + 2s₂ = 2(169π + 1300π) = 2*1469π  = 2938π мм² ёмкость стакана v = s₁h = 169π*50 = 8450π  ≈ 26546  мм³  ≈ 26,5 см³ небольшой стакан : )