1. діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут альфа. знайдіть площу бічної поверхні призми. 2. знайдіть площу поверхні чотирикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює √2 см, а в основі лежить квадрат. 3. бічні ребра піраміди дорівнюють гіпотенузі прямокутного трикутника, що лежить в її основі, дорівнюють 12 см. знайдіть висоту піраміди.

1) бічна грань - прямокутник. її розміри -dsin  α*dcos  α = d²sin2α/2. площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3 d²sin2α/2.2) якщо  кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. апофема дорівнює  √2*cos 30 =  √2*√3/2. площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2* √2*√3/2. = 2√3, площа основи - (√2)² = 2. тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1). 3) якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані. тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди. висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда

х=(-6+6)/2=0; у=(1-4)/2=-1,5.

Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда

х=(0+0)/2=0; у=(5-8)/2=-1,5.

Значит О1 совпадает с О2 - значит ABCD параллелограмм.

О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.

Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

АС^2=12^2+(-5)^2

АС^2=144+25

AC^2=169

AC=13

BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

BD^2=0^2+(-13)^2

BD^2=0+169

BD^2=169

BD=13

AC=BD

ABCD - прямоугольник

Объяснение:

8)

АВ1=АD=10ед. АВ1С1D- квадрат.

∆АВ1В- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

ВВ1=√(АВ1²-АВ²)=√(10²-6²)=8 ед.

Sбок=Р(АВСD)*ВВ1=2(6+10)*8=256 ед²

ответ: 256ед²

9)

∆DB1C- прямоугольный равнобедренный треугольник. (<DB1C=45°; <B1CD=90°; <B1DC=45°) углы при основании равны.

В1С=В1D/√2=6/√2=3√2 ед

ВС=AD=√2 ед

∆ВВ1С- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

ВВ1=√(В1С²-ВС²)=√((3√2)²-(√2)²)=√(18-4)=

=√15 ед.

ответ: АА1=√15 ед.

10)

В1В=В1D/2=8/2=4 ед катет против угла 30°

∆ВВ1D- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

ВD=√(B1D²-B1B²)=√(8²-4²)=4√3 ед.

∆DB1C- прямоугольный, равнобедренный треугольник.

DC=B1C

DC=B1D/√2=8/√2=4√2 ед.

∆ВСD- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

ВС=√(ВD²-DC²)=√((4√3)²-(4√2)²)=

=√(16*3-16*2)=√(48-32)=√16=4 ед.

ВС=АD=4ед

ответ: AD=4 ед.