Втреугольнике abc ac=bc, ab=15, ah - высота, bh=3. найдите cos bac

Если  окружность касается осей координат, то её центр находится на биссектрисе прямого угла между осями координат (х = у) и радиус r равен х.в уравнении окружности можно у и r заменить на х.записываем уравнение окружности: (х-2)²+(х-1)² = x². x²-4x+4+x²-2x+1 = x². получаем квадратное уравнение: х²-6х+5 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант: d=(-6)^2-4*1*5=36-4*5=36-20=16; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:     x₁=(√))/(2*1)=())/2=(4+6)/2=10/2=5;     x₂=(-√))/(2*1)=(-))/2=(-4+6)/2=2/2=1.     найдены 2 точки, которые могут быть центрами заданных  окружностей. ответ: (х-5)²+(у-5)² = 25.             (х-1)²+(у-1)² = 1.

доказательство:

сумма углов треугольника равна 180°

в прямоугольном треугольнике один угол прямой. следовательно, сумма острых углов прямоугольного треугольника

180°-90°=90°

биссектриса любого угла делит его пополам.

при пересечении   биссектрис острых углов прямоугольного треугольника образуется треугольник с тупым углом при точке пересечения биссектрис   углов,   и в этом треугольнике    каждый из острых углов вдвое меньше соответствующего   острого угла исходного прямоугольного треугольника.   их сумматоже вдвое меньше 90° и равна 45°.

отсюда тупой угол этого треугольника равен 

180°-45°=135°. 

острый угол при пересечении биссектрис равен 45° и как смежный с этим тупым углом, и как внешний угол при вершине треугольника. 

ясно, что  это всегда верно для угла, образующегося при пересечении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника, независимо от их величины.