Вравнобедренном треугольнике авc с основанием ac на высоте bd отмечена точка k. докажите, что треугольник aks равнобедренный

Так как δ авс  р/б, ⇒ вд делит δ авс пополам  ⇒   вд делит δ  akc пополам⇒  δ  akc р/б. ч.т.д.

S(abf) :   s(abcdef)  = 1   : 6   > 1: 8  ⇒  bk пересекает   сторону    af .   пусть   m    точка  пересечения       [bk]    и   [  af]   ;   m    ∈  [  af ]   . s₁   =s(δabm  ) ,   s ₂=s(abcdef) -  s₁  =  s(abcdef)  -  s(δabm  ). обозначаем  ab =  bc =cd = de = ef =ff   =   a ; ⇒  cf = 2a ,   cf| |ab   (  свойство    правильного  шестиугольника    ) . am =  x⇒ m  f =  a -  x  ; ck   : kf {  s₁ : s ₂  = 1: 8 ;   s₁ + s ₂ = s   (  s _ площадь правильного  шестиугольника  abcdef)  .   s₁ = 1/9*s ; ================================================================== 1/2 *a* x *sin 120° = 1/9*(a²√3)/4 ; 1/2 *a* x *(√3)/2 = 1/9*6*(a²√3)/4     **** sin 120° =sin(180°  -  60°) =  sin60° =√3/2    ***; x = 2/3a  ⇒  m  f =  a -  x =a -2/3a =  1/3a  .   δfkm     подобен  δabm    (cf| |ab)   : fk/ab =mf/mf; fk/a = (1/3a) /(2/3a)  ; fk = a/2   ; ***   наконец   *** ck  /  fk = (cf+fk)/fk =(2a+a/2)/(a/2) =5 : 1  . ответ  :     ck  /  fk =   5.  

Параллелограмм авсд. проведем биссектрису угла а, она пересечет сторону вс в точке к (< bak=< дaк) у параллелограмма противоположные стороны параллельны (ав||cд и вс||ад). биссектриса ак является секущей параллельных прямых ад и вс, значит  < bка=< дaк (как внутреннае накрест лежащие). получается, что  δавк, отсекаемый биссектрисой, - равнобедренный, т.к. углы при основании равны (< bak=< вка). отсекаемый треугольник может быть равносторонним, если биссектриса будет опущена из угла, равного 120°. в этом случае у отсекаемого треугольника все углы будут равны 60°