На диагонали ac параллелограмма abcd отложены равные отрезки ae и ck. докажите, что четырёхугольник bedk - параллелограмм.

Доказывать будем опираясь на признак параллелограмма (если у четырехугольника противолежащие  стороны попарно параллельны, то   это параллелограмм). доказательство: 1) тр аве = тр сдк (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них     ав=сд (авсд- пар-мм)     ае=ск ( по условию)     уг ксд= уг еав как внутр накрестлежащие при ab||сд и секущ ас    следовательно ве=дк 2)  тр аед = тр скв (по двум сторонам и углу м/д ними), т к в них     ад=св (авсд- пар-мм)     ае=ск ( по условию)     уг еад= уг ксв (как внутр накрестлежащие при aд||св и секущ ас    следовательно вк=де 3) евкд - параллелограмм по признаку из пп. 1; 2

Пусть $abc$ - некоторый произвольный треугольник. проведем через вершину $a$ перпендикуляр к прямой $a$, содержащей сторону $bc$ (рис. 1). обозначим основание перпендикуляра буквой $d$. отрезок перпендикуляра $ad$ называют  высотой треугольника  $abc$, опущенной из вершины $a$ на сторону $bc$. сторону $bc$ при этом называют  основанием треугольника  $abc$. в тупоугольном треугольнике $abc$ (см. рис. 1) две высоты ($ad$ и $be)$ пересекают продолжение сторон и лежат вне треугольника; третья высота ($cf)$ пересекает сторону треугольника. в остроугольном треугольнике (рис. 2) все три высоты лежат внутри треугольника. в прямоугольном треугольнике катеты являются также и высотами. три прямые, содержащие разные высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. в тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника; в остроугольном - внутри; в прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. высоты треугольника, опущенные на стороны  треугольника $a,b,c$ обозначаются $h_a ,h_b ,h_c $ соответственно.  

рассматриваем в плоскости, усеченный конус - равнобедренная трапеция авсд, в которою вписана окружность (шар), вс=14, ав=сд=10, угола=уголд, уголв=уголс,

в трапецию можно вписать окружность пир условии когда сумма боковых сторон=сумме оснований, ав+сд=вс+ад, 10+10=4+ад, ад=16, окружность касается оснований в их середине на вс в точке к, на ад в точке т, ат=тд=ад/2=16/2=8,

проводим высоты вн и сл на ад, нвсл-прямоугольник нл=вс=4, нт=тл=нл/2=4/2=2, треугольник авн=треугольник лсд как прямоугольные по гипотенузе (ав=сд) и острому углу (угола=уголд), ан=лд=(ад-нл)/2=(16-4)/2=6,

треугольник авн, вн=высота трапеции=диаметр окружности(шара)=корень(ав в квадрате-ан в квадрате)=корень(100-36)=8, радиус шара=8/2=4, объем шара=4/3  * пи*радиус в кубе=4/3*пи*4*4*4=256пи/3