На боковых сторонах равнобедренного треугольника abc отложены равные отрезки bm и bn. bd-высота треугольника. докажите, что md = nd

Если соеденить мд и дн то получится ромб, а стороны у ромба равны, значит мд=бн=мд=дн

Пусть вписанная в треугольник abc окружность с центром о касается сторон ab, bc, ac в точках n, k, m соответственно, а касательная в точке f пересекает ab и bc в точках r и t соответственно. тогда, очевидно, mftc - равнобочная трапеция (mf||tc, ∠fmc=90°+∠fmo, ∠mft=90°+∠mfo, причем ∠fmo=∠mfo, поэтому ∠mft=∠fmc). значит, tk=ft=mc=kc=am=an (из свойств отрезков касательной, равнобочности трапеции mftc и равнобедренности треугольника abc). кроме того, nr=rf. итак, ac=tc, ar=rt, т.е. треугольники acr и tcr равны, откуда cr - биссектриса ∠acb.  т.к. биссектриса единственна, то все доказано.

Поскольку пирамида правильная, то: 1)  в основании равносторонний треугольник (ав  =  вс  =  ас  =  3); 2) боковые ребра пирамиды также одинаковы между собой (sa = sb = sc). площадь боковой поверхности правильной  пирамиды вычисляется по формуле: s = 1/2*p*a (где р = полупериметр основания (равен 9/2), а = апофема). рассмотрим треугольник sab. он равнобедренный (т.к. ребра пирамиды в данном случае одинаковы). а поскольку м - середина ав, то отрезок sm - медиана этого треугольника. и по св-ву равнобедренного треугольника является также высотой. отсюда следует, что sm - апофема боковой грани sab. ее мы найдем из формулы площади боковой поверхности: 45 = 1/2*9*а откуда а = 10. значит, sm = 10.