Решить ! в острые углы прямоугольного треугольника вписаны два равных, касающихся друг друга круга. сумма площадей этих кругов равна площади круга, вписанного в треугольник. найти острые углы треугольника.

Если провести общую внутреннюю  касательную к этим  двум окружностям, то она отсечет от треугольника со сторонами a, b, c подобный ему треугольник.пусть эта прямая пересекает катет a и гипотенузу с. поскольку радиус вписанной в отсеченный треугольник окружности в  √2 раз меньше радиуса окружности, вписанной в исходный треугольник, то и стороны его будут в  √2 раз меньше. то есть гипотенузу с эта касательная делит на отрезки a/√2 и c - a/ √2;   если продлить эту касательную и катет b до их пересечения, то получится еще один прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности, таким же, как у отсеченного, то есть равный ему. b/√2 = c - a/√2; или    √2 = a/c + b/c = sin(α) + cos( α);   решить это тригонометрическое уравнение проще простого (возведением в квадрат), но на самом деле решение сразу видно  α = 45 °; это решение было сразу очевидно, но я доказал, что других решений у нет.

площадь ромба равна s= 1/2 d1d2

 

здесь d1, d2 являются диагоналями ромба

 

найдем вторую диагональ 

 

d2 = s/ 0.5 x d1 = 600 / 0.5 x30 =600/15=40 см

 

для нахождения высоты сначала надо знать сторону ромба

ее можно найти через теорему пифагора . эту формулу мы используем представив себе четверть ромба как прямоугольный треугольник

 

a² = (30/2)² + (40/2)² = 225 + 400 = 625 =25 в квадрате  a = 25

другая формула для площади ромба это 

 

s=ah

 

из этой формулы легко найти высоту

 

h = s/a=600/25=24 см.

 

вот и все.

объем призмы равен произведению площади основания на ее высоту. 

v=s·h

в основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник  со стороной  2. по свойствам правильного треугольника

  высота h  основания =(2√3): 2  =√3, а площадь равна 

s=½·2·√3=  √3

площадь обоих оснований вдвое больше:

s=2√3

  боковая поверхность  призмы равна произведению периметра основания на высоту, а в данной призме равновелика сумме оснований   2√3 .

периметр равен 2*3=6 

высоту боковой грани найдем 

2√3: 6=⅓•√3

объем призмы

v=s·h=√3·  ⅓•  √3=1