Вравнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. найдите радиус этой окружности.

r=s/p

найдем боковые стороны треугольника

а=в=(32-12)/2=10 см, с=12 (по условию) 

найдем высоту треугольника

h*h=10*10-6*6=64

h=8

s=1/2 *с*h=12/2*8= 48 кв.см

р=р/2=32/2=16 см

r=48/16=3 см 

Это равнобедренная трапеция с боковыми сторонами 12, верхним 7 и нижним 9. опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания. этими перпендикулярами нижнее основание делится на три отрезка длинами 1, 7, 1. а сама трапеция высотами делится на два одинаковых прямоугольных треугольника и прямоугольник. в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза 12 и катет 1. по теореме пифагора найдем второй катет (он же высота трапеции) квадратный корень из 143. найдем площадь трапеции s=(7+9)/2 × квадратный корень из 143=8корней из 143

обозначим начало наклонной а,   конец наклонной в ( точка пересечения с плоскостью   α). 

опустим из а перпендикуляр на плоскость   α. 

вс- проекция наклонной а. 

ас⊥вс.

угол авс=45° 

прямую b обозначим вк; угол авк=60°

  рассмотрим треугольник авс. 

так как угол авс=45°,  то угол вас=45°, 

треугольник авс прямоугольный равнобедренный. 

ас=вс=а*sin(45°)=(a√2): 2. 

треугольник авк прямоугольный. 

вк=а*cos(60°)=а: 2

треугольник вкс - прямоугольный с гипотенузой вс

cos  ∠ kbc=bк: вс=(а: 2): (a√2): 2=1: √2. умножив числитель и знаменатель на  √2, получим

cos   ∠ kbc=√2): 2. это косинус 45°