Как узнать сторону, если известна высота (в равностороннем треугольнике)

Могу предположить, что в равностороннем треугольнике надо провести  высоту, а сторона на которую она опущена будет равна искомой стороне. далее решаем по теореме пифагора(гипотенуза будет являться стороной равностороннего треугольника). предположим, что высота равна 4(один из катетов), тогда второй катет будет равен x, а гипотенуза равна 2x.  решаем по теореме: x2(в квадрате)+4(в квадрате)=2  x2(в квадрате) 2 x2-x2=16 x2=16 x=4 т.е. сторона треугольника равна 8

основание высоты лежит на пересечении медиан, думаю это понятно

находим длину медианы, она будет равна корень из 108-27=9 (находим через прямоугольный треугольник например, так как медиана это еще и высота)

далее проекция ребра на площадь основания это отрезок медианы между основанием ребра и основанием высоты= 2/3 медианы=6

боковое ребро=36+9=3 корня из 5

площадь боковой=3 площадям бокового треугольника= 3* 1/2 6 корней из 3* высоту в этом треугольнике

найдем ее: зная ребро по пифагору: 45-27=3 корня из 2 (аналогично высота=медиане в равнобедренном треугольнике)

площадь боковой поверхности равна 3*1/2*6 корней из 3*3 корня из 2=27корней из 6

рассмотрим окружность с центром в точке о. оа и ов - радиусы окружности, поэтому oa=ob. по теореме о касательных (две пересекающиеся касательные равны) эти треугольники равны по углу (угол радиуса к касательной всегда прямой по свойству касательной) и прилежащим к ней сторонам, а отсюда следует, что углы амо и омв равны (только они как-бы в зеркальном оторбражении). (1)

 

кроме того, по правилу зеркальной симметрии, ob = bc, а также углы bmc и omb равны. (2)

следует отметить, что угол amc содержит все три угла.

 

из (1) и (2) следует, что углы амо, bmc и омв равны, а значит, если считать один их этих углов равным одной части, то весь угол amc равен трём частям.

иными словами, amc = 3bmc, что и требовалось доказать.