Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды = 30 градусов, а длина бокового ребра - 2. вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

Обозначим пирамиду авсs(смотри рисунок). пирамида правильная значит в основании лежит правильный треугольник( обозначим его сторону а) и высота оs пирамиды проецируется в центр основания. кратчайшее расстояние мк перпендикулярна аs. из треугольника sвк найдём боковое ребро. прямоугольные треугольники амк и аsо подобны по острому углу sао. отсюда находим н. дальше по теореме пифагора, из треугольника аsо находим выражение  а квадрат. подставляем найденные значения в известную формулу. ответ на рисунке. 

Найдите синус косинус угла а треугольника авс с прямым углом с если вс- 8см, ав -17см:                                                                                                                                                                           ответ:                                                               sina=8/17 cosa=15/17

Сначала найдём высоту треугольника, лежащего в основании (она же является стороной треугольника-сечения). треугольник в основании равносторонний, так как пирамида правильная. применим одну из формул высоты равностороннего треугольника: h= а × √3/2 , где а - сторона. h= 9√3  ×  √3 /2 = 9  × 3 / 2 = 13,5  теперь найдём параметры центра треугольника в основании пирамиды - это и будет та точка, в которой высота пирамиды делит высоту основания, образуя с ней прямой угол. это важно для вычисления площади неправильного треугольника, которым и является искомое сечение пирамиды. в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в центре, деля его высоты в соотношении 2: 1 - 2 при угле, 1 при стороне. 13,5 : 3 =4,5 - часть высоты от центра до стороны. 4,5  ×2 = 9 - часть высоты от угла до центра таким образом мы имеем гипотенузу 15 и катет 9 прямоугольного треугольника, являющегося одной из двух частей сечения пирамиды. по теореме пифагора найдём второй катет (х-икс), являющийся высотой пирамиды. х=√ (15²-9²)= √(225 - 81) = √144 = 12 теперь мы имеем все данные для вычисления площади сечения. сечение состоит из 2х прямоугольных треугольников (треугольник сечения, разделенный высотой пирамиды на два других). а площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 произведения сторон, прилежащих к прямому углу. s1=12×9 /2 =54   s2=12×4,5 /2 =27 s1 + s2 = 54+27=81