Дан параллелепипед авсda1b1c1d1. постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки м, n и к, являющиеся серединами рёбер ав, вс и dd1.

Точки м и n принадлежат грани авсd параллелепипеда и плоскости сечения. значит прямая mn является линией пересечения грани авсd параллелепипеда и плоскости сечения. продолжим прямую mn до пересечения ее с ребрами dс и da. получим точки с1 и а1 соответственно. точки с1 и к принадлежат грани сс1d1d параллелепипеда и плоскости сечения. значит прямая с1к является линией пересечения грани сс1d1d параллелепипеда и плоскости сечения. точка пересечения этой прямой и ребра сс1 - точка р. точки а1 и к принадлежат грани аа1d1d параллелепипеда и плоскости сечения. значит прямая а1к является линией пересечения грани аа1d1d параллелепипеда и плоскости сечения. точка пересечения этой прямой и ребра аа1 - точка т. соединив точки npktm получим искомое сечение параллелепипеда.

1.3) теорема. от любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом – только один.

 если данный направленный отрезок – нулевой, то утверждение теоремы очевидно. пусть отрезок – ненулевой. проведем через точку с прямуюl, параллельную (ав). направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен ) и иметь длину |ав|. от точки с можно отложить ровно два таких отрезка – обозначим изи(рис. 4), причем( в силу (н4) если, то, а если, то. таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать.

(1.4) теорема. все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов – не равны.

 зафиксируем произвольную точку о, и для каждого направленного отрезка , исходящего из этой точки, обозначим через к() класс (т.е., совокупность) всех равных ему отрезков. при этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки о. поскольку любые два отрезка из одного и того же класса к() равны отрезку, они равны и между собой (теорема 1.2). теперь допустим, что нашлись равные отрезкик() и но тогда===, откуда по той же теореме 1.2=. таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. в частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться.

Уравнение окружности в общем случае имеет видгде (х0; у0) -центр окружности; r - радиус окружности. выделим в данном уравнении полные квадраты относительно переменных х и у: таким образом, (3; -7) - центр окружности, 8 - радиус окружности.