Дан четырехугольник abcd с вершинами a(3; 5), b(6; 6), c(5; 3), d(1; 1 найти координаты точки пересечения диагоналей.

Назовем точку е. е(4, 4)

Для нахождения площади параллелограмма можно применить разные формулы.  1) s=a•b•sin  α, где a   и  b -стороны,  α - угол между ними.  sin d150°=0,5 s=6•10•0,5= 30 (ед. площади) 2) в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (свойство углов при параллельных прямых и секущей).  тогда острый угол параллелограмма равен 180°-150°=30° пусть дан параллелограмм авсд.   ав=сд=6, вс=ад=10 тогда высота вн, проведенная к ад, как катет прямоугольного треугольника авн противолежит углу 30° и по свойству такого катета равна половине длины гипотенузы ав.  вн=6: 2=3 s=a•h, где а - сторона, h- высота, проведенная к ней.  s=10•3= 30 (ед. площади).

точку пересечения высот треугольника  klm обозначим - d.   точку серединного перпендикуляра на сторону   dm   обозначим - e. центр окружности вокруг  δ klm- o.

рассмотрим  δ kdm -равнобедренный,   явно претендующий на равносторонний.   определяем центр окружности вокруг    δ kdm. проводим средний перпендикуляр треугольника. do - одновременно является -выстой , биссектрисой и медианой, по условию данного    δ kdm -равнобедренный. ke - средний перпендикуляр и пересекаются они в точке l-это и будет центр окружности    δ kdm.

рассмотрим  δ kem и   δ ked- равны по признаку (ke-общая, de=em, т.к. e-точка середины и  ŀ 90 гр между равными сторонами). следовательно,   ke=km вывод  δ kdm -равносторонний. высота   δ kdm   h=√36-9= 5 см. вспомним соотношени высот в равностороннем   треугольнике 1/2 относительно точки их пересечения.точка c переечение серединного перпендикуляра с стороной km, и так lc=5/3, dl=2*5/3=10/3. r=10/3.

рассмотрим углы образованный вокруг точки   l   их 6 и обазованные бисектрисами в равностореннем    δ kdm они равны между собой 360/6=60гр, следовательно каждый из них 60 гр. рассмотрим      δ lom он оказывается - тоже равносторонним.   вывод радиус окружности  δ kdm равен радиусу окружности    δ klm и равен  r=10/3. и ещё вывод что, "если известно, что на этой окружности лежит центр окружности"  , то только тогда когда  δ klm - равнобедренный.