Дано: треугольник abc и kmn ab=8 bc=12 ac=16 km=10 mn=15 nk=20

Ав: км=вс: мn=ас: кn=4/5 (8: 10=12: 15=16: 20=4/5), значит, по третьему признаку подобия треугольников треугольник авс подобен треугольнику кмn. коэффициент подобия равен 0,8  по теореме об отношении площадей подобных треугольников это отношение равно коэффициенту подобия в квадрате, то есть: s авс: s кмn=(0,8)  =16/25

Высота проведена к большему основанию. у нас получился прямоугольный треугольник, две стороны нам известны, находим третью по теореме пифагора: 5²-4²=х² х²=25-16=9 х=3 проводим высоту из второй вершины к этому же основанию.у нас получается два прямоугольных треугольника. так трапеция равнобедренная, то гипотенузы равны высоты одной трапеции равны, следовательно, у нас есть равные катеты треугольники равны по гипотенузе и катету, значит, неизвестная сторона второго треугольника тоже равна 3 после проведения двух высот у нас получился квадрат, сторона которого равна меньшему основанию.находим её: 10-3-3=4 средняя линия равна полусумме оснований: (10+4)/2=7 площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту (10+4)/2 х4=28

Пусть параллельные прямые  a  и  bпересечены секущей  mn  (c). докажем что накрест лежащие углы 3 и 6 равны. допустим, что углы 3 и 6 не равны. отложим от луча  mn  угол  pmn, равный углу 6, так, чтобы угол  pmn  и угол 6 были накрест лежащими углами при пересечении прямых  мр  и  b  секущей  mn. по построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому  мр||b. мы выяснили, что через точку  м  проходят две прямые (прямые  a  и  мр), параллельные прямой  b. но это противоречит аксиоме параллельных прямых. значит, наше допущение неверно и угол 3 равен углу 6.