Что такое аксиома паралельных прямых

Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.параллельные прямые не пересекаются.  так

Пусть куб kmnpk1m1n1p1 имеет вершины k(0,0,0) m(0,1,0) p(1,0,0) k1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место  m1(0,1,1) n(1,1,0) p1(1,0,1) n1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат xyz) все это преамбула, "подготовка площадки". вот теперь решение. пусть точкам присвоены дополнительные обозначения k1 < => c; m < => d; p < => a; n1 < => b; тогда abcd - правильный тетраэдр. у него все грани - равносторонние треугольники. плоскость acd - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1; то есть нормальный вектор (1,1,1). плоскость, проходящая через точки c(0,0,1) b(1,1,1) и e(1/2,1/2,0) имеет еще более простое уравнение x = y; нормальный вектор (1, -1, 0) угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны. между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость bce содержит прямую, перпендикулярную плоскости acd - это ab, вектор ab совпадает с вектором, нормальным к acd - это (1,1,1)

Ятоже тут отмечусь, уж простите : ) треугольник abc, стороны (противолежащие углам) a, b, c, точка k делит сторону bc = a на отрезки ck = x и bk = a - x; точка m делит сторону ac = b на отрезки am = y и cm = b - y; точка n делит сторону ab = c на отрезки bc = z и ac = c - z; получается из условия деления периметра пополам b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; ck = p - b; где p - полупериметр abc; p  = (a + b + c)/2; a - x = bk = p - c; аналогично am = p - c; cm = p - a; bn = p - a; an = p  - b; то есть an*bk*cm/(bn*am*ck) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1; остается сослаться на обратную теорему чевы.