Ab и cd-два диаметра окружности с центром в точке 0. луч oe-биссектриса угла aoc. oe пересекает окружность в точке k, причем ke=ko. периметр треугольника kco в 3 раза больше радиуса окружности. докажите, что точки e, a, c и o лежат на одной окружности.

Так как периметр треугольника кос в три раза больше радиуса, то р=3r=ко+ос+кс= r+r+кс, следовательно, кс=r, т.о. все стороны треугольника равны, следовательно, он равносторонний и его углы равны 60 градусам.  вспомним определение вписанного четырехугольника в окружность - необходимо, что бы сумма противоположных углов равнялась 180 градусам.  рассмотрим четырехугольник еаос, он разбит на треугольники еао и есо. треугольник есо: угол о=60 градусов. ео=2*со, следовательно, ео-гипотенуза, ос, катет, лежащий против угла в 30 градусов, следовательно, треугольник   есо-прямоугольный, угол с=90 градусов. рассмотрим треугольник еоа: угол еоа=углу еос, т.к. ое-биссектриса, следовательно, угол еоа=60 градусов, ео-гипотенуза, в два раза большая катета ао, следовательно, треугольник еоа-прямоугольный, угол а=90 градусов. в четырехугольнике еаос углы а и с - противоположные, сумма их дает 180 градусов, следовательно, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность

1) прямые мр и nk могут быть параллельны, т.к. углы pmn и rnm являются односторонними (в сумме 180градусов) и раз уж они равны, значит по 90 градусов каждый => мр ii nk

 

так же они могут пересекаться (точка р накладывается на точку к). и при условии, что мр=nk получаем равнобедненный треугольник с основанием мn. а углы при основании такого треугольника равны.

ответ: 5)пересекаются или параллельны

 

2)

пусть один из односторонних углов х (тупой), другой y(острый), тогда:

х-y=65

x+y=180

 

y=180-х

 

х-(180-х)=65

2х=65+180=245

х=122,5градуса

 

y=180-122,5=57,5градусов

 

y - это один из острых накрест лежащих углов (накрест лежащие углы равны) =>

2y=57,5*2=115градусов

т.к. треуг. равнобедр, значит ав=ас=5см, а медиана из вершины а является ещё и высотой (пусть это будет медиана ар), а значит основание вс делится точкой р на пополам, т.е. вр=рс= 8/2 =4см. по теор. пифагора а^2+b^2=c^2 (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы)   а т.к. ар катет прямоугольного треугольника арв, значит 

ав^2=bp^2+ap^2

5^2=4^2+ap^2

25-16=9=ap^2

ap=3 cм

по основному свойсту медианы треугольника : медиана треугольника точкой их пересечения делится в отношении 2: 1 (считая от вершины треугольника)

значит ао: ор как 2: 1

ар разделить на 3 получим ор = 1, а значит ао = 3-1 = 2см