Основание пирамиды-прямоугольный треугольник, катеты которого равны 9 см и 12 см. каждая боковая грань наклоненна к основанию под углом 30 градусов. вычислите объем пирамиды.

Высота пирамиды проектируется в центр вписанного в прямоугольный  δ окружности, радиус r=sδ/pδ sδ=(1/2)*a*b, sδ=(9*12)/2=54 гипотенуза =√(12²+9²)=15 cм р=a+b+c, p=12+9+15=36, p=18 cм r=54/18, r=3 см прямоугольный  δ:   радиус вписанной окружности  перпендикуляр к стороне основания пирамиды образуют линейный угол =30°,  катет -радиус вписанной окружности, катет - h  высота пирамиды, гипотенуза. tg30°=h/r 1/√3=h/r, h=√3 v=(1/3)*sосн*h v=(1/3)*54√3, v=18√3

плоскость-сечение трапеция bdf1g1

расстояние от точки до плоскости => нужно построить плоскость, перпендикулярную

это будет диагональное сечение куба a1acc1

искомое расстояние а1н

обозначим ребро куба (а)

треугольники a1e1h и ee1g подобны (они прямоугольные по построению,

углы a1e1h и gee1 равны как накрестлежащие при параллельных прямых ас и а1с1 и секущей ее1) => а1н / е1g = а1е1 / ее1

а1н =  е1g * а1е1 / ее1

е1g = сс1 = а

а1е1 = (3/4) * а1с1 (диагонали основания-квадрата перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, треугольники d1b1c1 и f1g1c1 подобны с коэффициентом подобия 2 / 1 => с1е1 = с1а1 / 4 )

по т.пифагора а1с1 = а*v2

а1е1 = 3а*v2 / 4

ее1 трапеции с большим основанием =  а*v2,

меньшим основанием =  а*v2 / 2 (средняя линия треугольника d1b1c1), 

боковой стороной = корень(a^2 + (a/2)^2) = a*v5 / 2 (по т.пифагора) 

по т.пифагора ее1^2 = (a*v5 / 2)^2 -  ((а*v2 -  а*v2 / 2)/2)^2 = 5a^2 / 4 - a^2 / 8 = 9a^2 / 8

ее1 = 3а / (2*v2) = 3a*v2 / 4

получилось, что ее1 = а1е1 =>

а1н = e1g =  а

a1h = 2

как-то

а что мешает считать, что точка эта - один из концов гипотенузы? тогда периметр "четырехугольника" равен а + 0   + а + 0 = 12, где а - катет. 

ответ а = 6.

 

если точка выбрана произвольно, то периметр х + (а - х) + х + (а - х), где х - расстояние от точки до какого-то катета. это потому, что перпендикуляры из точки на катеты "отсекают" от треугольника тоже равнобедренные прямоугольные треугольники - с катетами х и а - х (х отсчитывается от конца гипотенузы, при х = 0 как раз получается то, что я написала вначале)

поэтому  х + (а - х) + х + (а - х) = 2a = 12 при любом выборе точки.