Найдите площадь треугольника авс, если ас=20, вс=2 корня из 97, а медиана вм равна 12.

из свойств медианы треугольника, имеем

mb=(1/2)*sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)

в нашем случае

a=2*sqrt(97)

b=20

mb=12

тогда

12=(1/2)*sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(376+2c^2

576=376*2c^2

200=2c^2

c^2=100 => c=10

 

площадь треугольника находим по формуле герона

 

s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c),

где

p=(a+b+c)/2

 

p=(10+20+2sqrt(97))/2=15+sqrt(97)

 

s=sqrt((15+sqrt(97))*(15+sqrt(97)-sqrt(97))*(15+sqrt(97)-10)*(15+sqrt(97)-20))=sqrt(15+sqrt(97))*15*(5+sqrt(97)*sqrt(97)-5))=

=sqrt(15*(15+sqrt(97))*(97-25))=sqrt(15*72*(15+sqrt(97))=sqrt(1080*(15+sqrt(97))

 

Высота bd делит треугольник на два прямоугольных треугольника.  один из полученных прямоугольных треугольников - это abd. узнаем значение высоты bd при теоремы пифогора: (заранее возьмем bd за х) 20^2=16^2+х^2 х=sqrt400-256 х=sqrt144 х=12 теперь обращаем внимание на второй прямоугольный треугольник. нам известна гипотенуза и один из катетов, bd, так как он общий. теперь уже cd возьмём за х. 13^2=12^2+х^2 х=sqrt169-144 х=sqrt25 х=5 ас=ad+cd ac=16+5 ас=21 p.s. 5^2 - 5 в квадрате sqrt25 - корень из 25 (здесь числа были взяты рандомные, чтобы пояснить обозначения)

ответ:

12√3 или 9√3

объяснение:

острый угол ромба диагональю делится пополам (по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника), потому выразим тангенс половинного угла через известный тангенс угла и найдём его:

tgα = 8 = 2tg(α/2)/(1 - tg²(α/2)) ⇒ 4t² + t - 4 = 0, где t = tg(α/2).

t = 3/4, tg(α/2) = √3/2 (все отрицательные варианты убираем, так как угол острый).

далее возможны 2 случая: известная диагональ 1) малая или 2) большая.

1. вторая диагональ равна 2*6/√3 = 4√3.

площадь ромба равна 1/2*6*4√3 = 12√3.

2. вторая диагональ равна 2*3√3/2 = 3√3.

площадь ромба равна 1/2*6*3√3 = 9√3.