3. через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a и b проведена прямая, параллельная основаниям. найдите отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции.

Пусть в трапеции авсд основания вс=а, ад=в, ас и вд - диагонали, о - точка их пересечения, вн - высота трапеции, м - точка пересечения высоты вн и искомого отрезка кл.  по условию кл параллельна вс, следовательно  δавд подобен  δкво, а  δавс подобен  δако. т.к. в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то ко/ад=вм/вн, ко/вс=мн/вн. отсюда  ко/ад+ко/вс=вм/вн+мн/вн ко*(вс+ад)/ад*вс=(вм+мн)/вн,  т.к. вм+мн=вн, то ко*(а+в)/ав=1 ко=ав/(а+в) аналогично, из подобия  δдол и δдвс, а также  δ осл и δасд, находим ол: ол=ав/(а+в) кл=ко+кл=ав/(а+в)+ав/(а+в)=2ав/(а+в)

Можливі 3 випадки: 1) центр кола належить стороні кута 2) точка о належить куту авс, але не належить сторонам кута авс 3) точка о не належить куту авс  і не належить сторонам кута авс доводимо всі 3 випадки: 1) кут аос-центральний, кут аос=дузі ас, трикутник аов- рівнобедрений, ао=во, кут а=куту в=х градусів, кут аос=2х градусів= дузі ас, отже кут вао=куту аво= 2 дуги ас. 2) проведемо ав-діаметр, тоді за першим випадком: кут авк= половина дуги ак, кут квс= половина дуги кс, кут авс=кут авк+кут квс=половина (дуги ак+ дуга кс)= половина  дуги ас. 3) проведемо вк-діаметр, кут авк=половина дуги ак, кут свк=половина дуги ск, дуга авс=кут авк-кут свк= половина (дуги ак-дуга ск)=половина дуги ас.  наслідки: 1) вписані кути, що спираються на 1 дугу рівні.                       2) кут, що спирається на діаметр=90 градусів (прямий).

Катет треугольника лежащий против угла 30 градусов будет равен половине гипотенузы , то есть , равен : 4 / 2 = 2 . другой катет будет равен : sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(16 - 4) = sqrt(12) = 2sqrt(3) .  примем меньшую сторону вписанного прямоугольника равной : х , тогда большая сторона прямоугольника будет равна : 2х . меньшая сторона прямоугольника образует треугольник с углом 30 градусов и углом 90 градусов лежащим на гипотенузе   , тогда сторона лежащая на катете размером 2sqrt(3) будет равна : 2х , так как она будет гипотенузой этого треугольника .    большая сторона прямоугольника образует со стороной треугольника равной 2sqrt(3) еще один треугольник с углами 30 и 90 градусов и гипотенузой равной 2х . тогда катет этого треугольника лежащий на катете равном 2 будет равен 2х/2 = х , а катет лежащий на стороне равной 2sqrt(3) , будет равен : sqrt(2x^2 - x^2) = sqrt(4x^2 - x^2) = sqrt(3x^2) = xsqrt(3) . отсюда имеем , что катет треугольника равный 2sqrt(3) = 2x + xsqrt(3)   ;     2sqrt(3) = x(2 + sqrt(3))  ;   x = 2sqrt(3) / (2 + sqrt(3)) . другая сторона прямоугольника будет равна : 2х = 4sqrt(3) / (2 + sqrt(3)) . площадь прямоугольника будет равна : 2sqrt(3)/ (2 + sqrt(3)) * 4sqrt(3) / (2 + sqrt(3)) = 8 * 3 / (4 + 2sqrt(3) + 3) = 24 / (7 + 2sqrt(3))