Боковая сторона ab и cd трапеции abcd равны соответственно 36 и 39, а основание bc равна 12. биссектриса угла adc проходит через середину стороны ab. найдите площадь трапеции.

Дано: верхнее основание трапеции вс = 12 левая боковая сторона ав = 36 правая боковая сторона сд = 39 дм - биссектириса и ам = вм = 18 найти: sтрап решение: дополнительное построение: через точку м, середину стороны ав проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции мк: ск = кд = 19,5 в δмкд  угол кмд = углу мда (накрест лежащие при параллельных мк и ад и секущей мд). но угол мда = углу кдм, т.к. мд - биссектриса. таким образом, в δмкд два угла равны: угол кмд = углу кдм, и δмкд -равнобедренный сравными сторонами мк = кд = 19,5. зная среднюю линию мк = 19,5 и верхнее основание сд = 12 можно вычислить нижнее основание ад мк = (сд + ад)/2 19,5 = (12 + ад)/2 ад = 27 сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин в и с трапеции опустим высоты сн = ве = h на нижнее основание ад. нижнее основание ад будет разделено на три отрезка дн = х, ен = 12 и ае = 27 - 12 - х = 15 - х из δснд выразим высоту сн=h сн² = cд² - дн²  или h² = 39² - х² из δаве выразим высоту ве = h ве² = ав² - ае² или таким образом, в δмкд два угла равны: угол кмд = углу кдм, и δмкд -равнобедренный сравными сторонами мк = кд = 19,5. зная среднюю линию мк = 19,5 и верхнее основание сд = 12 можно вычислить нижнее основание ад мк = (сд + ад)/2 19,5 = (12 + ад)/2 ад = 27 сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин в и с трапеции опустим высоты сн = ве = h на нижнее основание ад. нижнее основание ад будет разделено на три отрезка дн = х, ен = 12 и ае = 27 - 12 - х = 15 - х из δснд выразим высоту сн = h сн² = cд² - дн²  или h² = 39² - х² из δаве выразим высоту ве = h ве² = ав² - ае²  или h² = 36² - (15 - х)² приравняем квадраты высот 39² - х² = 36² - (15 - х)² 1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х² 30х = 450 х = 15 итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна h = √(1521 - 225) = √1296 = 36 площадь трапеции s = мк·h = 19.5 · 36 = 702

2

Угол А + угол С =156°

угол В=180 - (угол А+ угол С)=180-156=24°

т.к углы при основании равнобедренного треугольника равны, то:

угол А=угол С= 1/2•156=78°

ответ:79;24;78

1

т.к угол АОС=110°

то угол DOC=180- угол АОС=180-110=70°(т.к смежные углы в сумме дают 180°)

угол ВОА=углу DOC=70°(т.к вертикальные)

Рассмотрим треугольник СОD

(угол ОDC=углу ADC)

угол С= 180 - угол DOC- угол ODC=180-70-45=65°

Рассмотрим треугольник ВАО

(угол АВС=АВО)

угол ВАО=180- угол АВО- угол ВОА=180-65-70=45°

т.к угол ВАО=ODC=45°

т.к АВ=CD

т.к угол АВО=C=65°

то треугольники равны по 2 ому признаку

Решение основано на свойстве угла между секущей и касательной, который равен половине центрального угла в точки касания и пересечения.

Треугольник АРT получается равнобедренным, отсюда определяется первая искомая величина: РТ = 16.

АР = 2*16*cos A = 2*16*(√39/8) = 4√39 ≈ 24,98.

Вторая искомая величина: АР² = 16*39 = 624.

Находим косинус двойного угла:

cos(2A) = 2cos²A - 1 = (2*39/64) - 1 = 14/64 = 7/32.

По теореме косинусов в треугольнике РОТ находим:

(r² + r² - 16²)/(2*r*r) = 7/32.

Отсюда находим r = 12,8.