Свойство смежных и вертикальных углов! !

Два смежных углы образуют развернутый угол.сумма смежных углов равна 180 градусов. вертикальные углы равны.  угол, смежный с прямым углом, является прямым. угол, смежный с острым углом, тупой. угол, смежный с тупым углом, является острым.

плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

 

площадь правильного треугольника - а основание правильной пирамиды - правильный треугольник s=(a²√3): 4площадь боковой поверхности - это площадь трех граней пирамиды.каждая грань - равнобедренный треугольник с основанием а, равным стороне правильного треугольника в основании пирамиды, и высотой h=апофеме. s=ah: 2чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофему. угол аsc- прямой.треугольник asc - прямоугольный равнобедренный.

апофема грани пирамиды   - высота и медиана этого треугольника.медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

высота sm равна половине ас и равна а: 2площадь треугольника аsс=(а*а: 2): 2=а²: 4площадь боковой поверхности равна 3а²: 4отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основанияsбок: s ᐃ авс=(3а²: 4): {(a²√3): 4}=√3

точно такую уже решала.  ее подробное решение .

в треугольнике авс угол в равен 120°, а длина стороны ав на 7√3 меньше  полупериметра треугольника.  найдите радиус окружности, касающейся стороны вс и продолжений сторон ав и ас.

 

сделаем рисунок.

окружность, радиус которой нужно найти -  вневписанная. 

 

 

в любом треугольнике

расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.

( доказательство этой теоремы   при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)

то-есть в данной   aе = p.вневписанная окружность касается стороны вc треугольника abc, отрезки касательных от вершины а до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.это утверждение вытекает из того, что

по свойству отрезков касательных из точки вне окружности  отрезки от в до точек касания равны, равны и отрезки от с до точек касания. сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.

 

центр данной окружности лежит на биссектрисе угла све.так как этот угол смежный с углом авс,

он равен 60°, а угол ове=30°.  так как длина стороны ав на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а ае - равна полупериметру, тове=7√3радиус  ое: ве= tg (30°) =  1/√3радиус ое: ве=r: 7√3r: 7√3 = 1/√3r=7√3  ·1/√3=7