Прямоугольный треугольник с катетами a и b описан около окружности радиуса r и вписан в окружность радиуса r. докажите, что 2r+2r = a+b.

Пусть АВ=а, АС=b, BC=2R
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
OC и ОВ- биссектрисы
Докажем что треугольник OFC=OEC.
угол OFC=OEC=90
угол OCF=OCE, тк ОС-биссектриса
=>угол FOC=EOC
OC-общая
Из доказательства следует что FC=EC=b-r
Аналогично доказываем что треугольник BOD=BOE и что DB=BE=a-r
BC=2R=BE+EC=(b-r)+(a-r)=b+a-2r

Найдем все углы треугольника ABC.

угол B=36; A=C=(180-36)/2=72

т.к. AD биссектриса, то углы DAC и DAB  - равны и равны они 72/2=36 градусам.

Теперь найдем все углы треугольника ABD.

угол B=36; A=36; D=180-36*2=108 градусам.

Как видно из этого у нас 2 угла равны, а раз два угла равны, значит треугольник ABD  - равнобедренный.

Теперь найдем все углы треугольника DAC

угол C=72; A=36; D=180-36-72=72

Как видно из этого у нас 2 угла равны, а раз два угла равны, значит треугольник DAC - равнобедренный.

Так как осевое сечение представляет из себя прямоугольник, а диагональ делит его на два прямоугольных треугольника, рассмотрим нижний треугольник:

Так как диагональ, обозначим как D, образует 30 градусов с основанием, тогда имеем высоту цилиндра H равную 2,5.

Диаметр же найдем из прямоугольного треугольника:

 

Радиус же будет равен половине диаметра:

Объем цилиндра равен:

 , где S-площадь основания H-высота цилиндра

Тогда:

 Получаем:

 

 Площадь полной поверхности равна:

Sполной=2Sоснования+Sбоковой поверхности

Имеем:

 

 

Рисунок рассматриваемого треугольника во вложении